Matemática - 1er Ciclo Primaria Contar

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Matemática – Primer Ciclo Primaria

Lo que implica saber “Contar”[1]

Contar es uno de los primeros aprendizajes matemáticos, “la idea de contar es una de las más primitivas en los seres humanos”, “En el año 1937, Karl Absolom encontró en una excavación en Checoslovaquia, un fósil de hueso de lobo de 30.000 años de antigüedad, sobre el cual se distinguen claramente marcas talladas, las cuales sugieren la existencia de secuencias de conteo. Se observaron sobre el hueso 55 marcas agrupadas de cinco en cinco, lo que lleva a pensar que la agrupación natural de los dedos sirvió de base para su organización”[2]. Y esto también ocurre en la escuela, puesto que el conteo ocupa uno de los primeros lugares en la enseñanza de la matemática, en el Eje: Números, al decir del Diseño Curricular de la provincia de Corrientes para el Nivel Inicial, coincidente con el Bloque 1: Números, de los Contenidos Básicos Comunes para el mencionado Nivel de escolaridad, establece al respecto: “Es responsabilidad del Nivel Inicial que el niño y la niña se apropien del número y sus funciones sociales. Esto implica: conocer la serie numérica, enumerar correctamente los elementos estableciendo una correspondencia biunívoca entre los números y los objetos, determinar el cardinal de una colección, es decir, saber que el último número expresado luego de la enumeración representa el número total de elementos, y comprender que la posición de un número en la serie numérica define la magnitud.”
Ahora bien, no por primigenia resulta natural su dominio; los niños antes de iniciar la escolaridad son capaces de recitar los números, incluso en el orden correcto, bien nos dice Arthur Baroody en su libro “El pensamiento matemático de los niños”[3] que: “a una edad tan corta como los dieciocho meses los niños empiezan a contar oralmente de uno en uno… Hacia los veintiséis meses de edad, Alexi podía contar de palabra del 1 al 10 y había empezado a experimentar con los números hasta el 20. Cuando se le pidió que contara los tres puntos de una formación triangular, Alexi señaló los puntos y soltó a toda prisa: “1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.” Cuando se le pidió que contara tres puntos de una fila, señaló al azar y varias veces el conjunto mientras decía: “8, 9, 10.” Aún después de poder contar con exactitud conjuntos de hasta cinco objetos, Alexi se desconcertaba cuando se le preguntaba cuánto había contado.” Tal experiencia pone en evidencia que la habilidad que desarrollan los niños de "repetir números" no es sinónimo de saber contar y menos aún de lo que significa el concepto de número.

En definitiva, es uno de los primeros conocimientos matemáticos de los que se tiene registro histórico y uno de los que se ocupa inicialmente la educación formal, además, considerando lo dicho que contar la cantidad de elementos de una colección implica la acción de determinar el cardinal[4] de dicho conjunto. Es decir, establecer una correspondencia biunívoca entre los objetos a contar y un subconjunto ordenado (empezando por 1) de los números naturales.

Realizar esta tarea correctamente requiere conocer la sucesión de números naturales, es decir, tanto su constitución como su nomenclatura, en nuestra lengua: uno, dos, tres, etc. Por otra parte, es necesario que a cada objeto, sin saltear a ninguno, se le asigne un y sólo un número, ordenadamente a partir del 1. Y, entender que el último número nombrado identifica la cantidad.

Todo esto nos expone las diversas dificultades a las que se enfrenta el niño a la hora de contar, siendo cuestiones fundamentales a considerar dado que este aprendizaje permite comprender que la enumeración es el procedimiento experto para construir una colección equipotente a una dada sin que la misma esté presente; que dos cantidades (o más) son siempre comparables y que para hacerlo se puede utilizar la comparación de números; que una cantidad puede resultar de la composición de varias cantidades, y que, a la inversa, una colección puede partirse siendo definida con números como relación entre el todo y las partes; además, que se puede operar sobre los números para prever el resultado de una transformación sobre colecciones, por ejemplo el sobreconteo para resolver problemas aditivos. En definitiva, las funcionalidades del conteo como procedimiento matemático resultan imprescindibles para avanzar en el conocimiento de esta ciencia.

[1] Para mayores referencias puede consultar: Análisis Didáctico Contar
[2] LUQUE ARIAS, Carlos, MORA, Lyda, TORRES, Johana; “Didáctica de sistemas de notación de los números naturales (didáctica babilónico-hindú de la aritmética elemental)”
[3] BAROODY, Arthur, “El pensamiento matemático de los niños. Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial” Volumen XLII de la Colección Aprendizaje. Visor Dis. S.A., 1997.
[4] CHAMBADAL, Lucien; Diccionario de Matemáticas, Ediciones Grijalbo S.A., Barcelona, 1984. “El cardinal de un conjunto finito E, también se llama número de elementos de E”.

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Matemática - 1er Ciclo Primaria Del conteo a la suma

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Matemática – Primer Ciclo Primaria

Del conteo a la suma

Evolucionar procedimientos empleados para realizar cálculos es parte inherente al aprendizaje de la matemática, en cierta medida porque implica el dominio sobre la operación y además, por poner en juego las propiedades que se involucran, en este sentido pasar de un procedimiento rudimentario a uno algorítmico, y más aún si es convencional, conlleva aprendizajes propios de la disciplina; ahora bien, para que estos resulten aprehendidos por los estudiantes no basta con comunicarlos, explicarlos o ejercitarlos. Por lo que se propone un camino, no necesariamente único ni superador de otros, para iniciar el pasaje del conteo al algoritmo convencional de la suma.
En primer lugar se presupone ciertos conocimientos por parte de los estudiantes, como ocurre en cualquier proceso de enseñanza, los mismos serán los “conocimiento previos”, y en este caso implicará el saber contar.

Aprovechando este conocimiento se parte de un juego de dado y tablero, éste último como el que se utiliza en el juego de la oca, con el detalle de que debe tener un casillero de salida, lugar que se corresponde con el cero de la numeración ordenada. El dado podría ser confeccionado de tal manera que contenga los números 1 al 6 [1]
El primer lanzamiento posiciona al jugador en el número indicado por el dado, pero el segundo implica el sobreconteo. Por ejemplo, si en el primer lanzamiento salió “3”, se coloca la ficha en el casillero con dicho número; luego, si en el segundo lanzamiento sale “5”, se avanza “5” lugares desde el casillero “3”, esta acción de contar desde un valor dado (sobreconteo) será escrita como:

3 + 5 = 8 Es importante notar que esta escritura no implica la resolución de la operación, sino, más bien es la expresión simbólica de una acción, y por el momento seguirá en este orden.
La tarea continúa, y en cada caso se deberá escribir la operación involucrada y la solución obtenida mediante el sobreconteo [2]

Tras esto se invierten los ordenes, ahora se escribe la operación, por ejemplo: “12+9=” y se utiliza el tablero para resolverla; recurriendo al mismo procedimiento practicado con el juego, se ubica la ficha en el casillero correspondiente al primer número y se cuenta desde el mismo los lugares que indica el segundo, obteniendo el resultado de la suma del casillero al que se arriba.
Esta técnica puede aplicarse a la resolución de problemas, puesto que no es más que un medio para operar antes de conocer el algoritmo.

Éste método es limitado en cuanto a posibilidades, implica que cada estudiante cuente con su tablero, queda sumido a los límites del tablero, y no ofrece ninguna estrategia que permita “resumir” el conteo; considerando esta última, se avanza en cuanto a procedimientos al remplazar el tablero por el castillo numérico, cuestión que se considera en esta entrada (clic acá).

Esto aún está “muy lejos” de ser el algoritmo que permita operar pero es posible resolver la operación mediante un conocimiento previo disponible por los estudiantes y ofrece herramientas para entender el funcionamiento del siguiente método.

[1] Pudieran remplazarse los valores para tratar otras posibilidades.
[2] Sería necesario buscar otra actividad inicial, pero es viable trabajar la resta de una manera análoga, cambiando “avanzar” por “retroceder”, y decontando para determinar el resultado.

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Matemática - 1er Ciclo Primaria Operaciones en el castillo numérico

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Matemática – Primer Ciclo Primaria

Dedo Calculador – Resolución de sumas y restas en el castillo numérico

Un castillo numérico es básicamente una matriz que permite la organización rectangular de un conjunto ordenado de números; suele emplearse para la enseñanza del sistema de numeración, con especial consideración en las regularidades. Pero en este caso abordaremos la posibilidad de realizar operaciones de sumas y restas entre números naturales, mediante la propuesta didáctica conocida como “dedo calculador”.

Para esto es necesario considerar las regularidades propias del sistema de numeración decimal y explicitadas mediante el castillo numérico, las cuales se definen básicamente por recorridos o desplazamientos sobre el mismo, a saber:

Desplazarnos a la derecha un lugar implica sumar 1 al valor original, y en consecuencia[1], sumar cierta cantidad de unidades conlleva desplazarnos a la derecha esa misma cantidad de celdas.

De forma análoga desplazarnos a la izquierda implica resta, por lo que restar cierta cantidad de unidades conlleva desplazarnos a la izquierda esa misma cantidad de celdas.

Desplazarnos hacia abajo en la celda inmediata inferior implica sumar 10 al valor original, y por esto, sumar cierta cantidad de decenas conlleva desplazarnos hacia abajo esa misma cantidad de celdas.

Por último, desplazarnos hacia arriba en la celda inmediata superior implica restar 10 al valor original, y por esto, restar cierta cantidad de decenas conlleva desplazarnos hacia arriba esa misma cantidad de celdas.

En definitiva, estos movimientos pueden representarse como las coordenadas cardinales básicas y gráficamente para desplazamientos unitarios resultaría:

Además, es importante atender a la limitación propia de toda representación gráfica, esto es el cálculo sólo puede desarrollarse en el marco y entre los valores que posibilita la matriz. En este sentido como para este desarrollo consideraremos el castillo que contiene los números entre 0 y 99 de a uno en uno; podremos realizar operaciones que cumplan con las siguientes condiciones:

Suma: a + b < 100, siendo a y b números naturales

Resta: a – b con a < 100 y b < a [2], siendo a y b números naturales

Otra consecuencia de la misma representación tiene que ver con los movimientos que implican avances a partir o más allá de la última columna; o retrocesos respecto a la primer columna, lo que resulta en “movimientos especiales” [3]

Por último, para resolver las operaciones se aprovecha la descomposición aditiva de los números, principalmente en decenas y unidades.

Ahora bien, no cualquier combinación de valores para a y b que cumplan con las condiciones dadas implica la misma estrategia, y con el propósito de analizarlo se detallarán ejemplos para diferentes casos.

Para la suma, se consideran dos casos, que suelen denominarse suma sin dificultad y con dificultad.

a- 32 + 25

Con este ejemplo se contempla todos los casos donde la suma de las unidades sea menor o a lo sumo igual a 9; lo que implica que el desplazamiento en horizontal se mantendrá en la misma fila o familia. Por lo que su resolución deviene (posibilidad tomada para el análisis, y no necesariamente única) de la descomposición aditiva del segundo sumando y en función a ésta la cantidad de casilleros a desplazarse hacia abajo y a la derecha (o viceversa). Es decir: 32 + 25 = 32 + 20 (dos celdas hacia abajo) + 5 (cinco hacia la derecha); o bien, 32 + 25 = 32 + 5 (cinco casilleros a la derecha) + 20 (dos hacia abajo)

b- 32 + 29 [4]

Si la suma de las unidades es mayor a 9 el procedimiento resulta similar al anterior pero involucra un “movimientos especiales” puesto que el desplazamiento en horizontal (unidades) produce un cambio de familia, movimiento en vertical [5]

Se establece para la resta dos consideraciones análogas a la operación anterior

a- 56 – 13  
Si la unidad del minuendo es mayor [6] que la unidad del sustraendo (resta sin dificultad), el desplazamiento en horizontal “queda” en la misma familia. Ahora bien, para realizar el recorrido propio a esta operación se debe descomponer aditivamente el sustraendo, lo que trae aparejado un conflicto para su enseñanza, dado que resultará:
56 – 13 = 56 – ( 10 + 3 ) = 56 – 10 – 3; o bien 56 – 3 – 10
Por lo que será necesario mostrar la equivalencia entre “quitar 13” y “quitar 10 y luego 3” (o viceversa); en este punto es fundamental aclarar que la resolución de estas operaciones en el castillo numérico se realiza mediante el conteo, estratégico y sustentado en la estructura que el castillo ofrece, pero donde 56 – 13 = 43 es sólo una escritura y no un método; avanzar estos procedimiento y considerar situaciones como 56 – 13 =/= 56 – 10 + 3 requerirían otro análisis pormenorizado.

b- 46 – 18
Por último, la “resta con dificultad” [7] donde se requiere aplicar el citado procedimiento pero ahora conlleva un cambio de familia, es decir, al “quitarle” 8 al 46, la casilla a la que se arriba resulta esta en la familia anterior a la original; análogamente a lo que había ocurrido con la suma. Por lo que será de importancia, al llegar al primer número (columna de la izquierda) trasladarnos al último de la familia anterior (columna de la derecha), considerando lo dicho para los “movimientos especiales” y teniendo presente el concepto de anterior de.

Contemplando estas consideraciones que incluyen limitaciones de la propia representación, y algunas cuestiones respecto a su enseñanza, el empleo del castillo numérico resulta un recurso pertinente para abordar la resolución de las operaciones básicas citadas previo al tratamiento algorítmico.


[1] Esta afirmación no es inmediata y requiere desarrollo para su aprehensión.
[2] Pudiera ser a = b, para trabajar el caso a – b = 0
[3] Esto se asume conocido.
[4] Esta situación pudiera resolverse mediante la siguiente expresión equivalente: 32+30–1. Y, en este sentido es muy conveniente desarrollar “caminos alternativos”, propios de aquellos recursos de cálculo mental.
[5] Consideramos que pasar por esta situación previo al desarrollo del algoritmo convencional permite dar sentido a la acción “lleva 1”.
[6] La situación límite en este caso se da al ser la unidad del minuendo igual a la unidad del sustraendo, por ejemplo 46 – 16, estas situaciones se pueden reducir a 40–10 y anticipar este fenómeno daría cuenta del conocimiento matemático involucrado.
[7] Existen casos particulares como 46 – 29 que resulta equivalente a 46 – 30 + 1 cuya transformación resulta del repertorio de técnicas y procedimientos propios del cálculo mental, también en este caso, anticipar el método daría cuenta del conocimiento matemático.

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