Algoritmo de Búsqueda Binaria

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Ciclo Orientado Secundaria

Jornada de Presentación de Carreras – 2016
Profesorado de Educación Secundaria en Matemática

Presentación, actividad y consideraciones

Algoritmo de Búsqueda Binaria

[Nota 1: Lo que figura entre corchetes son referencias al respecto del encuadre metodológico, los recursos, y otras consideraciones que estimo relevantes] 

[Nota 2: El texto en cursivas son algunas oraciones de guía para iniciar la presentación; no se pretende que las enuncien literalmente pero sí que se respete el fundamento que las motiva y que se aclara entre corchetes]

Propósito general: 

Ofrecer, como parte de la presentación de la Carrera, una actividad para los presentes que ponga en juego la búsqueda de un resultado mediante un proceso lógico de eliminación de posibilidades (Algoritmo de búsqueda binaria), y la posterior explicitación de las operaciones involucradas.

Introducción: 

[Se ubican en el frente del curso con la lámina dispuesta en el centro del pizarrón. Uno, previa elección, se dirige a los estudiantes]

Buen tardes (o buenas noches)

Nosotros somos estudiantes del profesorado de matemática y vamos a compartir con ustedes algunos aspectos de la Carrera, pero, primero queremos proponerles un desafío.

[El presentador se hace a un lado para dejar visible, a todos los presentes, la lámina con los rostros]

De estos invitados a una fiesta, uno, es un espía; y el único testigo que puede identificarlo está envenado, sólo tenemos 5 minutos para averiguar quién es y conseguir el antídoto. 
El desafío es hacerlo con sólo 5 preguntas que se respondan por sí o por no.

Para que no haya dudas, en este sobre está la imagen de quien es el espía.

¿Quién será?

[A alguno de los presentes se le puede ocurrir hacer pasar a cada invitado frente al testigo y que éste, asienta cuando ve al espía; díganle que no pueden generar pánico entre los presentes, además el espía lo notaría y huiría. También, podrían decir, que el testigo puede describir al espía; pues no, porque el veneno lo tiene paralizado, sólo puede parpadear deliberadamente para afirmar. Todo esto puede parecer “tontería” pero es muy importante, primero, porque al que se le ocurre y lo dice, está decidido a buscar una alternativa (por los motivos que sea), y es lo que deseamos, que piensen alternativas; segundo, porque, lo nuestro es la docencia, y sabemos bien que imponer lo que pretendemos no es el camino; y tercero, porque, en matemática es muy importante respetar condiciones, pues bien, estas son las condiciones y bajo las mismas debemos pensar la tarea]

[Se espera que los estudiantes planteen preguntas, anímenlos a hacerlo, y respondan las mismas. Tal vez, alguno diga: seguro es hombre (o pelado); refuercen ese hecho diciendo: “TODOS son …”]

Desarrollo:

[Superados los 5 minutos y en caso de que no den con la respuesta correcta bajo un método eficiente, es decir, el azar está en nuestra contra y puede ser que adivinen, aunque sólo se tenga poco más del 3% de probabilidad; se pasa a este momento]

Ahora vamos a hacerlo al revés; un voluntario…
Vamos, alguien que pase a elegir uno de los invitados sin mostrármelo, hace de testigo, y yo hago las preguntas.

[Pasa, se lo saluda y se le pregunta el nombre]

Bueno, ahora me voy a dar vuelta, para no ver; vos elegí uno y señalalo.

[Hecho eso, las preguntas a plantear son las siguientes, aunque lo que ocurra dependerá de las respuestas. En este sentido sólo les propongo un ejemplo, y hay que practicar el funcionamiento.
Supongamos la imagen elegida sea:]

¿Tiene la cara ovalada? – NO [expliciten que, por lo tanto, debe ser rectangular]
¿Tiene los ojos grandes? – NO [misma consideración, y así, sucesivamente]
¿Tiene la nariz grande? – NO
¿Sonríe? – SI
¿Tiene barba? - SI

En definitiva, tiene la cabeza rectangular, los ojos pequeños, la nariz pequeña, sonríe y tiene barba. Es decir, éste. [y lo señalan]

[Si el tiempo así lo permitiese (lo que sería óptimo), se vuelve a realizar la tarea, es más, si los ven confiados (al menos a uno le va a “caer la ficha”) le ofrecen la oportunidad de preguntar]

Conclusión:

Como pudieron notar con cada pregunta fuimos descartando la mitad de las posibilidades y nos quedamos con la otra parte.

[En el pizarrón se escribe: 1/2 ]

Entonces, con la segunda pregunta nos quedó, la mitad de la mitad de los invitados como posibles.

[En el pizarrón, justo debajo del texto anterior, se escribe: 1/2 . 1/2=(1/2)^2 ]

Con la tercera pregunta nos quedó, la mitad de la mitad de la mitad de los invitados.

[En el pizarrón, justo debajo del texto anterior, se escribe: 1/2 . 1/2 . 1/2=(1/2)^3 ]

Con la cuarta, la mitad de la mitad de la mitad de la mitad, es decir.

[En el pizarrón, justo debajo del texto anterior, se escribe: 1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2=(1/2)^4 ]

Y con la quinta 

[En el pizarrón, justo debajo del texto anterior, se escribe: 1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2=(1/2)^5 ]

Y como, un medio a la quinta es un 32avos, significa que el que cumple con todas las condiciones es uno de los treinta y dos invitados, y así encontramos al espía y salvamos al testigo, sin molestar a los demás invitados de la fiesta.

Esperamos les haya resultado interesante usar la lógica y las fracciones para resolver este desafío, y si alguno quiere estudiar un poco más del tema se denomina “algoritmo de búsqueda binaria”.

Los esperamos el año próximo.
Gracias.

[Por último, hay que tener en cuenta que pasados los grupos pude que alguno cuente de qué trata al resto, no hay problema, tampoco es “secreto de Estado”, pero, a partir, del tercer grupo, pregunten si ya saben de qué trata, de ser así, pregunten si entienden por qué hay que hacerlo así, y céntrense más en la justificación que en el juego, sin por eso dejarlo de lado.
También, pude ocurrir que algún estudiante sepa del tema, y los demás no, pues bien, invítenlo como colaborador.]

Para concluir, agradezco la colaboración de: roberprof
Y, la inspiración al preparar y proponer este tema provino de: 4 trucos matemáticos para ganar en los juegos de Hey Arnoldo Montaño

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Introducción al álgebra - "Diseño con fósforos"

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Ciclo Orientado Secundaria

Jornada de Práctica en las Escuelas Secundarias de Mantilla y de Chavarría

Presentación, actividad y consideraciones para el Ciclo Orientado
Profesorado de Educación Secundaria en Matemática – 2016

Introducción al Álgebra - "Diseño con fósforos"*

* Esta propuesta considera actividades que figuran en el texto que cito en referencias al pié de página, aunque está pensada y organizada con una intención muy diferente al que proponen el mismo.

[Nota 1: Lo que figura entre corchetes son referencias al respecto del encuadre metodológico, los recursos, y otras consideraciones que estimo relevantes] 

[Nota 2: El texto en cursivas son algunas oraciones de guía para iniciar la clase; no se pretende que las enuncien literalmente pero sí que se respete el fundamento que las motiva y que se aclara entre corchetes]

Objetivo de la clase: 
Que los estudiantes logren establecer fórmulas que relacionen las cantidades involucradas, según las condiciones planteadas; como forma de modelización de la situación propuesta. Y sean capaces tanto de justificarlas como de operar con las mismas.

[Esta propuesta se centra en el trabajo en “grupo pequeños”, y en la posterior puesta en común de resultados (expresiones algebraicas); por lo que la “Presentación de la propuesta” funciona como introducción y debe ser breve]

Presentación de la propuesta: 

[Al inicio de la clase se ubican en el frente del curso con el rotafolio entre ustedes, en el centro. Uno, previa elección, se dirige a los estudiantes]

Buen día (o buenas tardes)

Nosotros somos estudiantes del profesorado de matemática del Instituto Superior de Formación Docente de San Roque, y venimos a compartir una jornada con ustedes como parte de nuestras prácticas.

No les vamos a dar clases pero queremos proponerles algunas actividades matemáticas, y para eso les pedimos que se agrupen de a dos o tres y, sepan, que pueden ocupar sus calculadoras o netbook.

[La intención es saludar, presentarse y dar ciertas pautas de trabajo, es fundamental tener presente que no venimos a “dar clases” en el sentido que usualmente se entiende a esta expresión; aunque sí tengamos un propósito para la jornada]
Mientras se organizan los grupos, quienes no presenten, van acercándose a los mismos y acomodándose]


Queremos proponerles considerar este diseño con fósforos.
[Se pasa a la segunda hoja del rotafolio]

¿Alguna vez jugaron a armar formas con fósforos?
¡Vamos no me miren así! O ¿acaso acá no corta la electricidad y se aburren?

[Siempre les digo que esto no es una cuestión estadística, pero la verdad es que es prácticamente improbable que alguien se ponga a reflexionar a partir de formar figuras con fósforos, y menos que lo considere un juego, incluso si tiene que estar sin electricidad. Casi parece un hecho que la mayoría prefiere aburrirse a pensar. En fin, deben considerar dos cuestiones que motivan este momento, primero que con objetos matemáticos aparentemente simples (formar triángulos) podemos considerar cuestiones más complejas de entender (expresiones algebraicas), y segundo, que no se requieren grandes recursos (ni siquiera los fósforos, porque sólo haremos mención a ellos). Nada de esto se dirá pero hay que hacerlo notar]

¿Cuántos fósforos se necesitan en éste caso? 
[Se señala la representación con tres triángulos. En este punto se espera que los estudiantes cuenten la cantidad de fósforos, dado que están ahí, a la vista; y aún no se ha analizado el caso. Con inmediatez se pasa a la siguiente:]

¿Cuántos fósforos se necesitan si se quieren formar seis triángulos?
[En particular, se solicita una cantidad equivalente al doble de la anterior, favoreciendo el debate sobre las posibilidades y limitaciones de razonamientos asociados a la proporcionalidad. Si les cuesta llegar al resultado correcto, se les recomienda dibujar y se concluye diciendo: No es proporcional. En este punto se busca que los estudiantes se familiaricen con la propuesta y comprendan algunos de sus aspectos, no se preocupen si no son capaces de formalizar o justificar los resultados. Ya llegará el momento.]

Ahora, en grupos traten de responder a estas preguntas [se da vuelta la siguiente página del rotafolio], nosotros podemos guiarlos, por lo que no duden en preguntar, pero no nos pregunten cuánto es.

[Es fundamental respetar el “mismo diseño”, aunque lógicamente esto tenga un límite práctico, que en la abstracción y modelización se irá diluyendo]
[Puede que algún estudiante les pregunte por el fósforo faltante de los 222 (ícono de una marca comercial) pues bien, sean creativos, por ejemplo, respondan que se usó para prender la vela]
[Al avanzar sobre los interrogantes, la representación (aunque sea esquemática) y el conteo dejan de ser prácticos y dan lugar a métodos de cálculo, que en principio se manifiestan coloquialmente, cuando ustedes noten que en el grupo ya lo tienen “afianzado”, por ejemplo, preguntando para otros valores y obteniendo respuestas seguras y correctas, propongan traducirlo algebraicamente, así:]

Ahora vamos a escribir una fórmula que nos permita calcular la cantidad de fósforos para cualquier cantidad de triángulos que se nos pida. Primero, es muy importante que puedan explicar el método de cálculo. ¿Cómo habría que hacer para cualquier cantidad [refiriéndonos a los triángulos]? 

[Se debe estar atento e interceder ante cualquier expresión que pueda dificultar la traducción, aunque en ningún caso se debe decir lo que ellos han razonado; menos aún, lo que “deberían” decir. Por ejemplo, si dicen: “Al triple le sumo cinco”, se les pregunta: ¿Al triple de qué? Aunque estemos entendiendo a qué hacen referencia, pues se requiere de dicha formalización para avanzar en la propuesta]

[Para aunar criterios, pues no es nuestra intención entrar en estos detalles, se les dirá:]

Llamemos x a la cantidad de triángulos e y a la cantidad de fósforos, ¿cómo sería la fórmula?

[Obtenidas las fórmulas y habiendo conversado en los grupos sobre las mismas, asegurándonos su comprensión y funcionamiento, se pasa a la puesta en común donde un representante de cada grupo expondrá lo logrado. Tras esto se les dirá:]

Pudieron obtener una fórmula que determine la cantidad de fósforos en función a la cantidad de triángulos que se quieren formar; y lo mejor de todo es que pudieron hacerlo sin siquiera ocupar un fósforo.
Las expresiones algebraicas y la matemática, permiten, entre muchas otras cosas, resolver ciertas situaciones sin que los objetos involucrados estén presentes, es decir, haciendo abstracción de estos, y esa es una de sus grandes ventajas. 
Ahora, les proponemos este caso: 
[última hoja del rotafolio]


[Finalicen saludando y agradeciendo]

Referencia:

Instituto Nacional de Formación Docente (Junio 2016). Diseño con fósforos. Una experiencia en un contexto real. Clase 4: La gestión de la clase de Matemática. Módulo: Seminario Final . Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

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Nociones pre-algebraicas - "Diseño con fósforos"

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Ciclo Básico Secundaria

Jornada de Práctica en las Escuelas Secundarias de Mantilla y de Chavarría

Presentación, actividad y consideraciones para el Ciclo Básico
Profesorado de Educación Secundaria en Matemática – 2016

Nociones pre-algebraicas - "Diseño con fósforos"*

* Esta propuesta considera actividades que figuran en los textos que cito en referencias al pié de página, aunque está pensada y organizada con una intención muy diferente al que proponen los mismos.

[Nota 1: Lo que figura entre corchetes son referencias al respecto del encuadre metodológico, los recursos, y otras consideraciones que estimo relevantes] 

[Nota 2: El texto en cursivas son algunas oraciones de guía para iniciar la clase; no se pretende que las enuncien literalmente pero sí que se respete el fundamento que las motiva y que se aclara entre corchetes]

Objetivo de la clase: 
Que los estudiantes logren describir y argumentar la relación que se da entre las cantidades involucradas, según las condiciones planteadas por el problema; como forma de modelización de la situación propuesta. 

[Esta propuesta se centra en el trabajo en “grupo pequeños”, y en la posterior puesta en común de resultados (expresiones algebraicas); por lo que la “Presentación de la propuesta” funciona como introducción y debe ser breve]

Presentación de la propuesta: 

[Al inicio de la clase se ubican en el frente del curso con el rotafolio entre ustedes, en el centro. Uno, previa elección, se dirige a los estudiantes]

Buen día (o buenas tardes)

Nosotros somos estudiantes del profesorado de matemática del Instituto Superior de Formación Docente de San Roque, y venimos a compartir una jornada con ustedes como parte de nuestras prácticas.

No les vamos a dar clases pero queremos proponerles algunas actividades matemáticas, y para eso les pedimos que se agrupen de a dos o tres y, sepan, que pueden ocupar sus calculadoras o netbook.

[La intención es saludar, presentarse y dar ciertas pautas de trabajo, es fundamental tener presente que no venimos a “dar clases” en el sentido que usualmente se entiende a esta expresión; aunque sí tengamos un propósito para la jornada]
Mientras se organizan los grupos, quienes no presenten, van acercándose a los mismos y acomodándose]

Queremos proponerles considerar este diseño con fósforos. 
[Se pasa a la segunda hoja del rotafolio]

¿Alguna vez jugaron a armar formas con fósforos?
¡Vamos no me miren así! O ¿acaso acá no corta la electricidad y se aburren?

[Siempre les digo que esto no es una cuestión estadística, pero la verdad es que es prácticamente improbable que alguien se ponga a reflexionar a partir de formar figuras con fósforos, y menos que lo considere un juego, incluso si tiene que estar sin electricidad. Casi parece un hecho que la mayoría prefiere aburrirse a pensar. En fin, deben considerar dos cuestiones que motivan este momento, primero que con objetos matemáticos aparentemente simples (formar triángulos) podemos considerar cuestiones más complejas de entender (la modelización matemática), y segundo, que no se requieren grandes recursos (ni siquiera los fósforos, porque sólo haremos mención a ellos). Nada de esto se dirá pero hay que hacerlo notar]

¿Cuántos fósforos se necesitan en éste caso? 
[Se señala la representación con tres triángulos. En este punto se espera que los estudiantes cuenten la cantidad de fósforos, dado que están ahí, a la vista; y aún no se ha analizado el caso. Con inmediatez se pasa a la siguiente:]

Ahora vamos a hacerlo un poco más “emocionante” 
[Se pasa a la tercer hoja del rotafolio]

Con una caja de 222 fósforos, ¿cuáles la máxima cantidad de triángulos que puede tener nuestro diseño?
Nosotros podemos guiarlos, por lo que no duden en preguntar, pero no nos pregunten cuánto es.

[Esta tarea resulta mucho más compleja por varias cuestiones; en primer lugar, obviamente ya no se puede recurrir al mismo recurso visual y al conteo que sirvió para el caso anterior; y además, se cambia de variable, primero la incógnita fueron los fósforos y, ahora, son el dato. Y es fundamental esta consideración.]

[Algunas posibles situaciones que se presenten será:
- Algunos estudiantes dicen no entender: Señalando la imagen que se aprecia en la página del rotafolio, se les dice “Hay que formar esos triángulos con fósforos, por ejemplo, si tenés 10 fósforos ¿cuántos triángulos se pueden armar?”  una vez que se obtiene la respuesta correcta, sea por conteo o representación, se le pregunta “¿y si fuesen 30 fósforos?”  para luego, replantear la consigna dada
- Puede que a alguno se le ocurra pedir los fósforos, se les responderá que no son necesarios, basta imaginarlos
- También, que alguien diga que no le alcanza el ancho de la hoja para los dibujos, “y bueno, la podés usar apaisada, y si no, habrá que pensarlo de otra manera”
- Puede que algún grupo “copie” la idea de otro, en principio los dejan seguir, pero luego, les dicen: “ahora que ya lo entienden podrían pensarlo de otra manera que no sea la misma que ellos”; a menos que resulte un proceso más depurado que el original, los “europeos” llamaron “invento” a todo lo que "tomaron" de otras culturas bajo el supuesto de que ellos lo mejoraron; bueno, algo así.
- Por último, pudiera haber diferencias entre las opiniones de los individuos que forman el grupo, pues bien, se acepta, ésta no es una cuestión democrática, ni se busca convencer al otro, se debe proponer y debatir argumentos matemáticos, cuantos más, mejor.]

[En definitiva, es fundamental que:
- Reconozcan que el dibujo y el conteo, son recursos válidos pero insuficientes para el caso.
- Las operaciones “simples”, no son bastan para resolver la situación, es decir, sólo con dividir por 3 o por 5 no alcanza. Propongan contraejemplos a lo enunciado.
- No se trata de un caso de proporcionalidad, pueden descartar ese razonamiento pidiendo el doble de la cantidad de triángulos para otra cuya relación se conoce. Ahora bien, ciertos argumentos que toman la base de la proporcionalidad, aunque no la mencionen, pueden ser útiles; se debe estar atento a esto para no negar lo que sí es viable.
- No se espera una fórmula, pero sí un método, por lo que una vez que hallen el resultado correcto se les puede preguntar por otras cantidades para que lo ejerciten.]

[Al final, puede que algún estudiante les pregunte por el fósforo faltante de los 222 (ícono de una marca comercial) pues bien, sean creativos, por ejemplo, respondan que se usó para prender la vela]

[Resuelto el problema y habiendo conversado en los grupos sobre las estrategias de cálculo, asegurándonos su comprensión y funcionamiento, se pasa a la puesta en común donde un representante de cada grupo expondrá lo logrado. Tras esto se les dirá:]

Pudieron determinar la cantidad de fósforos en función a la cantidad de triángulos que se quieren formar; y lo mejor de todo es que lo hicieron sin siquiera ocupar un fósforo.
La matemática, permiten, entre muchas otras cosas, resolver ciertas situaciones sin que los objetos involucrados estén presentes, es decir, haciendo abstracción de estos, y esa es una de sus grandes ventajas. 
Ahora, les proponemos este caso: 
[última hoja del rotafolio]

[Finalicen saludando y agradeciendo]

Referencia:

Instituto Nacional de Formación Docente (Junio 2016). Diseño con fósforos. Una experiencia en un contexto real. Clase 4: La gestión de la clase de Matemática. Módulo: Seminario Final . Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación. 

Buscando regularidades: Casitas con fósforos
http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/110512_regularidades.elp/casitas_con_fsforos.html

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Matemática - 1er Ciclo Primaria Hoja Dividida

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ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Primer Ciclo Primaria

Hoja Dividida

Avanzar en la enseñanza de las operaciones básicas requiere atender a ciertas cuestiones previas, y para esto, nos valemos de estrategias y recursos que permiten ponerlas en juego, ya vimos algunas en cuanto a la suma, la resta o la multiplicación; y en esta entrada abordaremos una posibilidad respecto a la división.

Es importante rescatar que, al decir del Diseño Curricular (página 96), para el Segundo Año/Grado se consigna:

- Resolución de problemas de reparto y partición

- Expresión simbólica de las acciones realizadas: Uso del signo ÷

Y para el Tercer Año/Grado:

- Resolución de problemas de división mediante distintos procedimientos: restas o sumas reiteradas, búsqueda del factor y posteriormente utilización del algoritmo en el caso de la división por una cifra.

Es decir, antes de tratar a la división como operación se debe considerar situaciones que impliquen repartos (y particiones), y siguiendo con las propuestas compartidas paras las otras operaciones básicas, las cuales ofrecen una representación gráfica que permite a los estudiantes incluso contar para lograr el resultado, recomendamos el uso de la:

“Hoja dividida”: que, básicamente es una hoja rectangular en blanco que está dividida en partes del mismo tamaño, siendo esta cantidad de partes el divisor implicado. Cabe aclarar que al tratarse de un recurso inicial, ligado al conteo, se verá acotado en cuanto a posibilidades, es decir, podrá usarse para repartir cantidades menores a cuarenta en grupos no mayores que cuatro; este no es un limite “fijo” pero sí a considerar a los fines prácticos.

Un ejemplo, que figura en el NAP de 2° en la página 80, propone: 

Para un juego, se deben repartir 20 cartas en partes iguales entre 4 jugadores. 

¿Cuántas cartas recibirá cada uno?

Los recursos con los que se cuenta son 20 rectángulos pequeños de goma EVA y la “hoja dividida” en cuatro partes del mismo tamaño. En este punto, es importante destacar que en el Documento citado figuran, entre la página 80 y la 81, cinco procedimientos distintos de cálculo, pero como anticipamos el que proponemos se diferencia y focaliza en el empleo de un soporte físico, además del trabajo intuitivo.

Creemos que esta labor favorece la anticipación y memorización de resultados, aunque tal conjetura debería ser validada por un estudio, lo que es ajeno a nuestras posibilidades.

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Matemática - Multiplicación proporcionalidad directa

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Primer Ciclo Primaria

Mesa de trabajo sobre Secuencias Didácticas

Multiplicación en casos de proporcionalidad directa

El pasado 25 de junio nos reunimos maestros y profesores del área de matemática para conversar y definir una propuesta de enseñanza que contemple el desarrollo de un contenido particular y la posible articulación entre los Niveles de enseñanza, Primaria y Secundaria. Para esto se tomó como eje de trabajo la “multiplicación en casos de proporcionalidad directa”, un contenido acotado puesto que el tiempo de labor también lo era, además, uno de los objetivos fue la concreción de una secuencia de actividades, que se detalla más adelante.
Por otra parte, es necesario destacar que no son muchas las experiencias en esta modalidad de trabajo, y más aún por ser una propuesta interniveles de la que participaron profesores de matemática, maestros, estudiantes del Profesorado de Educación Primaria, y Residentes de dicha Carrera, esto lo hizo un desafío interesante del que llevamos conclusiones más que oportunas.

La propuesta se dividió en dos momentos, el primero de consideraciones Curriculares, por lo que se dispuso de los NAP y de un material de apoyo para 5to año de la Educación Primaria del que se tomó la actividad modelo (si el lector desea consultar la misma puede hacerlo en las páginas 73  y 74 del Cuadernos para el aula, matemática 5 - 1a ed. - Buenos Aires : Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, 2007); estos textos fueron solicitados a la biblioteca del ISFD “Juan García de Cossio”. Tras la lectura de párrafos pre-seleccionados se observó que el contenido propuesto está presente en los dos últimos años de la escolaridad primaria como en el primero de la secundaria, pero que el tratamiento del mismo varía en consideración y complejidad, en las palabras del documento considerado: “La construcción del concepto de proporcionalidad demanda varios años de la escolaridad”, pero recordemos que el recorte propuesto no centra la labor en esta relación sino en la operación seleccionada por lo que resultó necesario el rediseño de la secuencia modelo; y en esto nos detuvimos en la segunda mitad.
Para iniciar se leyó el modelo considerado, y se identificaron las variables didácticas presentes, resaltando el hecho de que las mismas están vinculadas al desarrollo de estrategias de resolución por parte de los estudiantes; en principio se consideraron como variables al costo, la cantidad de chicos y el tiempo; pero, esta última se redujo a constante al contemplarla en bloques de 10 minutos; aunque fue contemplada dentro de las posibles extensiones a la secuencia. Tras este análisis inicial se procedió a reescribir el enunciado y las consignas, en parte por lo antes dicho pero también para actualizar los precios; además, en todos los casos, se buscó que las consignas resulten breves, comprensibles y que favorezcan el contenido propuesto, a sabiendas de que las situaciones de proporcionalidad ofrecen la oportunidad de poner en juego variadas estrategia. En definitiva resultó:

En el parque acaban de instalar camas elásticas para saltar. Un cartel dice: 

a- Si Patricia quiere saltar 20 minutos ¿cuánto tendrá que pagar? Y si quiere saltar 30 minutos ¿cuánto tendrá que pagar?
b- Si entraron 9 chicos a saltar durante 10 minutos ¿Cuánto recaudó el boletero?
c- Para llevar el control de lo recaudado el boletero armó una tabla:

d- José y sus 6 primos le pidieron descuento al boletero, les dijo que le hacia a $18 los 10 minutos a cada uno ¿Cuánto tuvieron que pagar en total?
e- Aparecieron los hermanos de José, ahora en total son 12 chicos ¿Cuánto les cobrará?

Cada uno de los cuales fue seleccionado con un propósito; exponer a los estudiantes ante la situación, y evaluar la comprensión sobre el enunciado; realizar las operaciones involucradas; cambiar las variables consideradas para generar nuevos casos.
Por último, se consideró la posibilidad de extender la propuesta ofreciendo valores de aquella variable que hasta el momento resultó ser incógnita; lo que implicaría incorporar otras operaciones (en particular la división) como medio para el cálculo. También el trabajo sobre la relación a partir de la tabla y la consideración de propiedades. Lógicamente esto dependerá del año de escolaridad en el que se esté desarrollando la propuesta.
Comprendemos ésta es una propuesta acotada e inacabada, que puede ampliarse gracias a la experiencia y el análisis; e invitamos a compartirlo a fin de seguir reflexionando sobre la función que desempeñamos.

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Matemática - 1er Ciclo Primaria Cuadrícula Calculadora

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ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Primer Ciclo Primaria

Cuadrícula Calculadora

Al momento de enseñar la multiplicación muchos son los recursos y estrategias que podemos emplear; por lo general asociando esta operación al sentido de suma reiterada. 
Sin negar sus bondades, nos ocuparemos de otro sentido estableciendo algunas posibles ventajas del recurso empleado. 
El mismo lo denominaremos “cuadrícula calculadora” y básicamente es una hoja cuadriculada, sin ninguna otra referencia o notación; cabe aclarar que su dimensión dependerá de los valores considerados en la enseñanza, por lo que si se está trabajando la tabla del 4 resultará de 4 por 10 cuadraditos. Para unificarlo consideremos sea de 10 por 10. Además, sería conveniente que esté plastificada para poder reutilizarla en varias ocasiones.

Podemos iniciar con un enunciado similar a este: “Se desea cubrir un patio rectangular de 5 metros de largo por 3 metros de ancho, con baldosas cuadradas de 1 metro de lado ¿Cuántas se necesitarán?”
Apoyándose en la representación gráfica resulta un rectángulo de 5 por 3 subdividido en cuadrados de 1 por 1 y para determinar el total podemos: contar uno a uno, o sumar 3 cinco veces (o 5 tres veces).
Este enunciado permite el estudio de la multiplicación como organización rectangular, pero más allá de esto ofrece una representación gráfica que se vincula con lo solicitado, y que, consideraremos como recurso de cálculo.

Otras actividades que podemos tratar son: utilizando sillas ubicadas para un acto, etiquetas en una plancha o medicamentos en un blíster, por nombrar algunos ejemplos, en todas, las representaciones gráficas tienen forma rectangular ubicando los objetos en cada celda, intersección entre filas y columnas; es fundamental en este punto resaltar esta “forma” y aunque las situaciones se resuelvan por conteo o sumas reiteradas dar énfasis entre la asociación de la multiplicación y la forma rectangular subdividida en cuadrados.

Esta asociación permite tratar las multiplicaciones mediante el recurso propuesto, la cuadrícula calculadora, aclaramos que esto no limita ni inhibe el desarrollo de otras propuestas asociadas a otros sentidos de la multiplicación, como ser la suma reiterada o la combinatoria; es más, entendemos que tratar de “meter” todos los casos en esta “forma” no resultaría práctico ni conveniente.
Pero una vez abstraídos del problema, y puntualizando en el cálculo, podemos aprovecharlo como un recurso, que estimamos conveniente, para la resolución de la operación. Y esto se debe a que, por un lado ofrece una representación gráfica, que permite a los estudiantes incluso contar para lograr el resultado; pero por otro, favorece la anticipación, mediante el empleo de escalas.
Por ejemplo si la operación es: 5 x 4 bastaría con formar un rectángulo de 5 cuadraditos de un lado por 4 de otro lado consecutivo, unos podrían contar uno a uno, otros ir en escala 5, y 5, 10, y 5, 15, y 5, 20 (de la misma manera 4, y 4, 8...) y otros anticipar paso, 5, y 5, 10, y 10 de la otra mitad, 20.
Favoreciendo así que aunque las competencias de los estudiantes sean muy dispares en cuanto a esta operación, logren el resultado en cuestión.


Video

También creemos que favorece la memorización de las operaciones, aunque tal conjetura debería ser validada por un estudio, lo que es ajeno a nuestras posibilidades.

En este momento estamos llevando adelante esta propuesta, gracias a la colaboración de docentes de una escuela asociada y esperamos poder ofrecer más detalles al respecto.

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Matemática - 1er Ciclo Primaria Contar

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ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Primer Ciclo Primaria

Lo que implica saber “Contar”[1]

Contar es uno de los primeros aprendizajes matemáticos, “la idea de contar es una de las más primitivas en los seres humanos”, “En el año 1937, Karl Absolom encontró en una excavación en Checoslovaquia, un fósil de hueso de lobo de 30.000 años de antigüedad, sobre el cual se distinguen claramente marcas talladas, las cuales sugieren la existencia de secuencias de conteo. Se observaron sobre el hueso 55 marcas agrupadas de cinco en cinco, lo que lleva a pensar que la agrupación natural de los dedos sirvió de base para su organización”[2]. Y esto también ocurre en la escuela, puesto que el conteo ocupa uno de los primeros lugares en la enseñanza de la matemática, en el Eje: Números, al decir del Diseño Curricular de la provincia de Corrientes para el Nivel Inicial, coincidente con el Bloque 1: Números, de los Contenidos Básicos Comunes para el mencionado Nivel de escolaridad, establece al respecto: “Es responsabilidad del Nivel Inicial que el niño y la niña se apropien del número y sus funciones sociales. Esto implica: conocer la serie numérica, enumerar correctamente los elementos estableciendo una correspondencia biunívoca entre los números y los objetos, determinar el cardinal de una colección, es decir, saber que el último número expresado luego de la enumeración representa el número total de elementos, y comprender que la posición de un número en la serie numérica define la magnitud.”
Ahora bien, no por primigenia resulta natural su dominio; los niños antes de iniciar la escolaridad son capaces de recitar los números, incluso en el orden correcto, bien nos dice Arthur Baroody en su libro “El pensamiento matemático de los niños”[3] que: “a una edad tan corta como los dieciocho meses los niños empiezan a contar oralmente de uno en uno… Hacia los veintiséis meses de edad, Alexi podía contar de palabra del 1 al 10 y había empezado a experimentar con los números hasta el 20. Cuando se le pidió que contara los tres puntos de una formación triangular, Alexi señaló los puntos y soltó a toda prisa: “1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.” Cuando se le pidió que contara tres puntos de una fila, señaló al azar y varias veces el conjunto mientras decía: “8, 9, 10.” Aún después de poder contar con exactitud conjuntos de hasta cinco objetos, Alexi se desconcertaba cuando se le preguntaba cuánto había contado.” Tal experiencia pone en evidencia que la habilidad que desarrollan los niños de "repetir números" no es sinónimo de saber contar y menos aún de lo que significa el concepto de número.

En definitiva, es uno de los primeros conocimientos matemáticos de los que se tiene registro histórico y uno de los que se ocupa inicialmente la educación formal, además, considerando lo dicho que contar la cantidad de elementos de una colección implica la acción de determinar el cardinal[4] de dicho conjunto. Es decir, establecer una correspondencia biunívoca entre los objetos a contar y un subconjunto ordenado (empezando por 1) de los números naturales.

Realizar esta tarea correctamente requiere conocer la sucesión de números naturales, es decir, tanto su constitución como su nomenclatura, en nuestra lengua: uno, dos, tres, etc. Por otra parte, es necesario que a cada objeto, sin saltear a ninguno, se le asigne un y sólo un número, ordenadamente a partir del 1. Y, entender que el último número nombrado identifica la cantidad.

Todo esto nos expone las diversas dificultades a las que se enfrenta el niño a la hora de contar, siendo cuestiones fundamentales a considerar dado que este aprendizaje permite comprender que la enumeración es el procedimiento experto para construir una colección equipotente a una dada sin que la misma esté presente; que dos cantidades (o más) son siempre comparables y que para hacerlo se puede utilizar la comparación de números; que una cantidad puede resultar de la composición de varias cantidades, y que, a la inversa, una colección puede partirse siendo definida con números como relación entre el todo y las partes; además, que se puede operar sobre los números para prever el resultado de una transformación sobre colecciones, por ejemplo el sobreconteo para resolver problemas aditivos. En definitiva, las funcionalidades del conteo como procedimiento matemático resultan imprescindibles para avanzar en el conocimiento de esta ciencia.

[1] Para mayores referencias puede consultar: Análisis Didáctico Contar
[2] LUQUE ARIAS, Carlos, MORA, Lyda, TORRES, Johana; “Didáctica de sistemas de notación de los números naturales (didáctica babilónico-hindú de la aritmética elemental)”
[3] BAROODY, Arthur, “El pensamiento matemático de los niños. Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial” Volumen XLII de la Colección Aprendizaje. Visor Dis. S.A., 1997.
[4] CHAMBADAL, Lucien; Diccionario de Matemáticas, Ediciones Grijalbo S.A., Barcelona, 1984. “El cardinal de un conjunto finito E, también se llama número de elementos de E”.

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Matemática - 1er Ciclo Primaria Del conteo a la suma

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Matemática – Primer Ciclo Primaria

Del conteo a la suma

Evolucionar procedimientos empleados para realizar cálculos es parte inherente al aprendizaje de la matemática, en cierta medida porque implica el dominio sobre la operación y además, por poner en juego las propiedades que se involucran, en este sentido pasar de un procedimiento rudimentario a uno algorítmico, y más aún si es convencional, conlleva aprendizajes propios de la disciplina; ahora bien, para que estos resulten aprehendidos por los estudiantes no basta con comunicarlos, explicarlos o ejercitarlos. Por lo que se propone un camino, no necesariamente único ni superador de otros, para iniciar el pasaje del conteo al algoritmo convencional de la suma.
En primer lugar se presupone ciertos conocimientos por parte de los estudiantes, como ocurre en cualquier proceso de enseñanza, los mismos serán los “conocimiento previos”, y en este caso implicará el saber contar.

Aprovechando este conocimiento se parte de un juego de dado y tablero, éste último como el que se utiliza en el juego de la oca, con el detalle de que debe tener un casillero de salida, lugar que se corresponde con el cero de la numeración ordenada. El dado podría ser confeccionado de tal manera que contenga los números 1 al 6 [1]
El primer lanzamiento posiciona al jugador en el número indicado por el dado, pero el segundo implica el sobreconteo. Por ejemplo, si en el primer lanzamiento salió “3”, se coloca la ficha en el casillero con dicho número; luego, si en el segundo lanzamiento sale “5”, se avanza “5” lugares desde el casillero “3”, esta acción de contar desde un valor dado (sobreconteo) será escrita como:

3 + 5 = 8 Es importante notar que esta escritura no implica la resolución de la operación, sino, más bien es la expresión simbólica de una acción, y por el momento seguirá en este orden.
La tarea continúa, y en cada caso se deberá escribir la operación involucrada y la solución obtenida mediante el sobreconteo [2]

Tras esto se invierten los ordenes, ahora se escribe la operación, por ejemplo: “12+9=” y se utiliza el tablero para resolverla; recurriendo al mismo procedimiento practicado con el juego, se ubica la ficha en el casillero correspondiente al primer número y se cuenta desde el mismo los lugares que indica el segundo, obteniendo el resultado de la suma del casillero al que se arriba.
Esta técnica puede aplicarse a la resolución de problemas, puesto que no es más que un medio para operar antes de conocer el algoritmo.

Éste método es limitado en cuanto a posibilidades, implica que cada estudiante cuente con su tablero, queda sumido a los límites del tablero, y no ofrece ninguna estrategia que permita “resumir” el conteo; considerando esta última, se avanza en cuanto a procedimientos al remplazar el tablero por el castillo numérico, cuestión que se considera en esta entrada (clic acá).

Esto aún está “muy lejos” de ser el algoritmo que permita operar pero es posible resolver la operación mediante un conocimiento previo disponible por los estudiantes y ofrece herramientas para entender el funcionamiento del siguiente método.

[1] Pudieran remplazarse los valores para tratar otras posibilidades.
[2] Sería necesario buscar otra actividad inicial, pero es viable trabajar la resta de una manera análoga, cambiando “avanzar” por “retroceder”, y decontando para determinar el resultado.

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Matemática - 1er Ciclo Primaria Operaciones en el castillo numérico

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Matemática – Primer Ciclo Primaria

Dedo Calculador – Resolución de sumas y restas en el castillo numérico

Un castillo numérico es básicamente una matriz que permite la organización rectangular de un conjunto ordenado de números; suele emplearse para la enseñanza del sistema de numeración, con especial consideración en las regularidades. Pero en este caso abordaremos la posibilidad de realizar operaciones de sumas y restas entre números naturales, mediante la propuesta didáctica conocida como “dedo calculador”.

Para esto es necesario considerar las regularidades propias del sistema de numeración decimal y explicitadas mediante el castillo numérico, las cuales se definen básicamente por recorridos o desplazamientos sobre el mismo, a saber:

Desplazarnos a la derecha un lugar implica sumar 1 al valor original, y en consecuencia[1], sumar cierta cantidad de unidades conlleva desplazarnos a la derecha esa misma cantidad de celdas.

De forma análoga desplazarnos a la izquierda implica resta, por lo que restar cierta cantidad de unidades conlleva desplazarnos a la izquierda esa misma cantidad de celdas.

Desplazarnos hacia abajo en la celda inmediata inferior implica sumar 10 al valor original, y por esto, sumar cierta cantidad de decenas conlleva desplazarnos hacia abajo esa misma cantidad de celdas.

Por último, desplazarnos hacia arriba en la celda inmediata superior implica restar 10 al valor original, y por esto, restar cierta cantidad de decenas conlleva desplazarnos hacia arriba esa misma cantidad de celdas.

En definitiva, estos movimientos pueden representarse como las coordenadas cardinales básicas y gráficamente para desplazamientos unitarios resultaría:

Además, es importante atender a la limitación propia de toda representación gráfica, esto es el cálculo sólo puede desarrollarse en el marco y entre los valores que posibilita la matriz. En este sentido como para este desarrollo consideraremos el castillo que contiene los números entre 0 y 99 de a uno en uno; podremos realizar operaciones que cumplan con las siguientes condiciones:

Suma: a + b < 100, siendo a y b números naturales

Resta: a – b con a < 100 y b < a [2], siendo a y b números naturales

Otra consecuencia de la misma representación tiene que ver con los movimientos que implican avances a partir o más allá de la última columna; o retrocesos respecto a la primer columna, lo que resulta en “movimientos especiales” [3]

Por último, para resolver las operaciones se aprovecha la descomposición aditiva de los números, principalmente en decenas y unidades.

Ahora bien, no cualquier combinación de valores para a y b que cumplan con las condiciones dadas implica la misma estrategia, y con el propósito de analizarlo se detallarán ejemplos para diferentes casos.

Para la suma, se consideran dos casos, que suelen denominarse suma sin dificultad y con dificultad.

a- 32 + 25

Con este ejemplo se contempla todos los casos donde la suma de las unidades sea menor o a lo sumo igual a 9; lo que implica que el desplazamiento en horizontal se mantendrá en la misma fila o familia. Por lo que su resolución deviene (posibilidad tomada para el análisis, y no necesariamente única) de la descomposición aditiva del segundo sumando y en función a ésta la cantidad de casilleros a desplazarse hacia abajo y a la derecha (o viceversa). Es decir: 32 + 25 = 32 + 20 (dos celdas hacia abajo) + 5 (cinco hacia la derecha); o bien, 32 + 25 = 32 + 5 (cinco casilleros a la derecha) + 20 (dos hacia abajo)

b- 32 + 29 [4]

Si la suma de las unidades es mayor a 9 el procedimiento resulta similar al anterior pero involucra un “movimientos especiales” puesto que el desplazamiento en horizontal (unidades) produce un cambio de familia, movimiento en vertical [5]

Se establece para la resta dos consideraciones análogas a la operación anterior

a- 56 – 13  
Si la unidad del minuendo es mayor [6] que la unidad del sustraendo (resta sin dificultad), el desplazamiento en horizontal “queda” en la misma familia. Ahora bien, para realizar el recorrido propio a esta operación se debe descomponer aditivamente el sustraendo, lo que trae aparejado un conflicto para su enseñanza, dado que resultará:
56 – 13 = 56 – ( 10 + 3 ) = 56 – 10 – 3; o bien 56 – 3 – 10
Por lo que será necesario mostrar la equivalencia entre “quitar 13” y “quitar 10 y luego 3” (o viceversa); en este punto es fundamental aclarar que la resolución de estas operaciones en el castillo numérico se realiza mediante el conteo, estratégico y sustentado en la estructura que el castillo ofrece, pero donde 56 – 13 = 43 es sólo una escritura y no un método; avanzar estos procedimiento y considerar situaciones como 56 – 13 =/= 56 – 10 + 3 requerirían otro análisis pormenorizado.

b- 46 – 18
Por último, la “resta con dificultad” [7] donde se requiere aplicar el citado procedimiento pero ahora conlleva un cambio de familia, es decir, al “quitarle” 8 al 46, la casilla a la que se arriba resulta esta en la familia anterior a la original; análogamente a lo que había ocurrido con la suma. Por lo que será de importancia, al llegar al primer número (columna de la izquierda) trasladarnos al último de la familia anterior (columna de la derecha), considerando lo dicho para los “movimientos especiales” y teniendo presente el concepto de anterior de.

Contemplando estas consideraciones que incluyen limitaciones de la propia representación, y algunas cuestiones respecto a su enseñanza, el empleo del castillo numérico resulta un recurso pertinente para abordar la resolución de las operaciones básicas citadas previo al tratamiento algorítmico.


[1] Esta afirmación no es inmediata y requiere desarrollo para su aprehensión.
[2] Pudiera ser a = b, para trabajar el caso a – b = 0
[3] Esto se asume conocido.
[4] Esta situación pudiera resolverse mediante la siguiente expresión equivalente: 32+30–1. Y, en este sentido es muy conveniente desarrollar “caminos alternativos”, propios de aquellos recursos de cálculo mental.
[5] Consideramos que pasar por esta situación previo al desarrollo del algoritmo convencional permite dar sentido a la acción “lleva 1”.
[6] La situación límite en este caso se da al ser la unidad del minuendo igual a la unidad del sustraendo, por ejemplo 46 – 16, estas situaciones se pueden reducir a 40–10 y anticipar este fenómeno daría cuenta del conocimiento matemático involucrado.
[7] Existen casos particulares como 46 – 29 que resulta equivalente a 46 – 30 + 1 cuya transformación resulta del repertorio de técnicas y procedimientos propios del cálculo mental, también en este caso, anticipar el método daría cuenta del conocimiento matemático.

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