Matemática - 1er Ciclo Primaria Operaciones en el castillo numérico

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Primer Ciclo Primaria

Dedo Calculador – Resolución de sumas y restas en el castillo numérico

Un castillo numérico es básicamente una matriz que permite la organización rectangular de un conjunto ordenado de números; suele emplearse para la enseñanza del sistema de numeración, con especial consideración en las regularidades. Pero en este caso abordaremos la posibilidad de realizar operaciones de sumas y restas entre números naturales, mediante la propuesta didáctica conocida como “dedo calculador”.

Para esto es necesario considerar las regularidades propias del sistema de numeración decimal y explicitadas mediante el castillo numérico, las cuales se definen básicamente por recorridos o desplazamientos sobre el mismo, a saber:

Desplazarnos a la derecha un lugar implica sumar 1 al valor original, y en consecuencia[1], sumar cierta cantidad de unidades conlleva desplazarnos a la derecha esa misma cantidad de celdas.

De forma análoga desplazarnos a la izquierda implica resta, por lo que restar cierta cantidad de unidades conlleva desplazarnos a la izquierda esa misma cantidad de celdas.

Desplazarnos hacia abajo en la celda inmediata inferior implica sumar 10 al valor original, y por esto, sumar cierta cantidad de decenas conlleva desplazarnos hacia abajo esa misma cantidad de celdas.

Por último, desplazarnos hacia arriba en la celda inmediata superior implica restar 10 al valor original, y por esto, restar cierta cantidad de decenas conlleva desplazarnos hacia arriba esa misma cantidad de celdas.

En definitiva, estos movimientos pueden representarse como las coordenadas cardinales básicas y gráficamente para desplazamientos unitarios resultaría:

Además, es importante atender a la limitación propia de toda representación gráfica, esto es el cálculo sólo puede desarrollarse en el marco y entre los valores que posibilita la matriz. En este sentido como para este desarrollo consideraremos el castillo que contiene los números entre 0 y 99 de a uno en uno; podremos realizar operaciones que cumplan con las siguientes condiciones:

Suma: a + b < 100, siendo a y b números naturales

Resta: a – b con a < 100 y b < a [2], siendo a y b números naturales

Otra consecuencia de la misma representación tiene que ver con los movimientos que implican avances a partir o más allá de la última columna; o retrocesos respecto a la primer columna, lo que resulta en “movimientos especiales” [3]

Por último, para resolver las operaciones se aprovecha la descomposición aditiva de los números, principalmente en decenas y unidades.

Ahora bien, no cualquier combinación de valores para a y b que cumplan con las condiciones dadas implica la misma estrategia, y con el propósito de analizarlo se detallarán ejemplos para diferentes casos.

Para la suma, se consideran dos casos, que suelen denominarse suma sin dificultad y con dificultad.

a- 32 + 25

Con este ejemplo se contempla todos los casos donde la suma de las unidades sea menor o a lo sumo igual a 9; lo que implica que el desplazamiento en horizontal se mantendrá en la misma fila o familia. Por lo que su resolución deviene (posibilidad tomada para el análisis, y no necesariamente única) de la descomposición aditiva del segundo sumando y en función a ésta la cantidad de casilleros a desplazarse hacia abajo y a la derecha (o viceversa). Es decir: 32 + 25 = 32 + 20 (dos celdas hacia abajo) + 5 (cinco hacia la derecha); o bien, 32 + 25 = 32 + 5 (cinco casilleros a la derecha) + 20 (dos hacia abajo)

b- 32 + 29 [4]

Si la suma de las unidades es mayor a 9 el procedimiento resulta similar al anterior pero involucra un “movimientos especiales” puesto que el desplazamiento en horizontal (unidades) produce un cambio de familia, movimiento en vertical [5]

Se establece para la resta dos consideraciones análogas a la operación anterior

a- 56 – 13  
Si la unidad del minuendo es mayor [6] que la unidad del sustraendo (resta sin dificultad), el desplazamiento en horizontal “queda” en la misma familia. Ahora bien, para realizar el recorrido propio a esta operación se debe descomponer aditivamente el sustraendo, lo que trae aparejado un conflicto para su enseñanza, dado que resultará:
56 – 13 = 56 – ( 10 + 3 ) = 56 – 10 – 3; o bien 56 – 3 – 10
Por lo que será necesario mostrar la equivalencia entre “quitar 13” y “quitar 10 y luego 3” (o viceversa); en este punto es fundamental aclarar que la resolución de estas operaciones en el castillo numérico se realiza mediante el conteo, estratégico y sustentado en la estructura que el castillo ofrece, pero donde 56 – 13 = 43 es sólo una escritura y no un método; avanzar estos procedimiento y considerar situaciones como 56 – 13 =/= 56 – 10 + 3 requerirían otro análisis pormenorizado.

b- 46 – 18
Por último, la “resta con dificultad” [7] donde se requiere aplicar el citado procedimiento pero ahora conlleva un cambio de familia, es decir, al “quitarle” 8 al 46, la casilla a la que se arriba resulta esta en la familia anterior a la original; análogamente a lo que había ocurrido con la suma. Por lo que será de importancia, al llegar al primer número (columna de la izquierda) trasladarnos al último de la familia anterior (columna de la derecha), considerando lo dicho para los “movimientos especiales” y teniendo presente el concepto de anterior de.

Contemplando estas consideraciones que incluyen limitaciones de la propia representación, y algunas cuestiones respecto a su enseñanza, el empleo del castillo numérico resulta un recurso pertinente para abordar la resolución de las operaciones básicas citadas previo al tratamiento algorítmico.


[1] Esta afirmación no es inmediata y requiere desarrollo para su aprehensión.
[2] Pudiera ser a = b, para trabajar el caso a – b = 0
[3] Esto se asume conocido.
[4] Esta situación pudiera resolverse mediante la siguiente expresión equivalente: 32+30–1. Y, en este sentido es muy conveniente desarrollar “caminos alternativos”, propios de aquellos recursos de cálculo mental.
[5] Consideramos que pasar por esta situación previo al desarrollo del algoritmo convencional permite dar sentido a la acción “lleva 1”.
[6] La situación límite en este caso se da al ser la unidad del minuendo igual a la unidad del sustraendo, por ejemplo 46 – 16, estas situaciones se pueden reducir a 40–10 y anticipar este fenómeno daría cuenta del conocimiento matemático involucrado.
[7] Existen casos particulares como 46 – 29 que resulta equivalente a 46 – 30 + 1 cuya transformación resulta del repertorio de técnicas y procedimientos propios del cálculo mental, también en este caso, anticipar el método daría cuenta del conocimiento matemático.

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