Algoritmo de Búsqueda Binaria

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Ciclo Orientado Secundaria

Jornada de Presentación de Carreras – 2016
Profesorado de Educación Secundaria en Matemática

Presentación, actividad y consideraciones

Algoritmo de Búsqueda Binaria

[Nota 1: Lo que figura entre corchetes son referencias al respecto del encuadre metodológico, los recursos, y otras consideraciones que estimo relevantes] 

[Nota 2: El texto en cursivas son algunas oraciones de guía para iniciar la presentación; no se pretende que las enuncien literalmente pero sí que se respete el fundamento que las motiva y que se aclara entre corchetes]

Propósito general: 

Ofrecer, como parte de la presentación de la Carrera, una actividad para los presentes que ponga en juego la búsqueda de un resultado mediante un proceso lógico de eliminación de posibilidades (Algoritmo de búsqueda binaria), y la posterior explicitación de las operaciones involucradas.

Introducción: 

[Se ubican en el frente del curso con la lámina dispuesta en el centro del pizarrón. Uno, previa elección, se dirige a los estudiantes]

Buen tardes (o buenas noches)

Nosotros somos estudiantes del profesorado de matemática y vamos a compartir con ustedes algunos aspectos de la Carrera, pero, primero queremos proponerles un desafío.

[El presentador se hace a un lado para dejar visible, a todos los presentes, la lámina con los rostros]

De estos invitados a una fiesta, uno, es un espía; y el único testigo que puede identificarlo está envenado, sólo tenemos 5 minutos para averiguar quién es y conseguir el antídoto. 
El desafío es hacerlo con sólo 5 preguntas que se respondan por sí o por no.

Para que no haya dudas, en este sobre está la imagen de quien es el espía.

¿Quién será?

[A alguno de los presentes se le puede ocurrir hacer pasar a cada invitado frente al testigo y que éste, asienta cuando ve al espía; díganle que no pueden generar pánico entre los presentes, además el espía lo notaría y huiría. También, podrían decir, que el testigo puede describir al espía; pues no, porque el veneno lo tiene paralizado, sólo puede parpadear deliberadamente para afirmar. Todo esto puede parecer “tontería” pero es muy importante, primero, porque al que se le ocurre y lo dice, está decidido a buscar una alternativa (por los motivos que sea), y es lo que deseamos, que piensen alternativas; segundo, porque, lo nuestro es la docencia, y sabemos bien que imponer lo que pretendemos no es el camino; y tercero, porque, en matemática es muy importante respetar condiciones, pues bien, estas son las condiciones y bajo las mismas debemos pensar la tarea]

[Se espera que los estudiantes planteen preguntas, anímenlos a hacerlo, y respondan las mismas. Tal vez, alguno diga: seguro es hombre (o pelado); refuercen ese hecho diciendo: “TODOS son …”]

Desarrollo:

[Superados los 5 minutos y en caso de que no den con la respuesta correcta bajo un método eficiente, es decir, el azar está en nuestra contra y puede ser que adivinen, aunque sólo se tenga poco más del 3% de probabilidad; se pasa a este momento]

Ahora vamos a hacerlo al revés; un voluntario…
Vamos, alguien que pase a elegir uno de los invitados sin mostrármelo, hace de testigo, y yo hago las preguntas.

[Pasa, se lo saluda y se le pregunta el nombre]

Bueno, ahora me voy a dar vuelta, para no ver; vos elegí uno y señalalo.

[Hecho eso, las preguntas a plantear son las siguientes, aunque lo que ocurra dependerá de las respuestas. En este sentido sólo les propongo un ejemplo, y hay que practicar el funcionamiento.
Supongamos la imagen elegida sea:]

¿Tiene la cara ovalada? – NO [expliciten que, por lo tanto, debe ser rectangular]
¿Tiene los ojos grandes? – NO [misma consideración, y así, sucesivamente]
¿Tiene la nariz grande? – NO
¿Sonríe? – SI
¿Tiene barba? - SI

En definitiva, tiene la cabeza rectangular, los ojos pequeños, la nariz pequeña, sonríe y tiene barba. Es decir, éste. [y lo señalan]

[Si el tiempo así lo permitiese (lo que sería óptimo), se vuelve a realizar la tarea, es más, si los ven confiados (al menos a uno le va a “caer la ficha”) le ofrecen la oportunidad de preguntar]

Conclusión:

Como pudieron notar con cada pregunta fuimos descartando la mitad de las posibilidades y nos quedamos con la otra parte.

[En el pizarrón se escribe: 1/2 ]

Entonces, con la segunda pregunta nos quedó, la mitad de la mitad de los invitados como posibles.

[En el pizarrón, justo debajo del texto anterior, se escribe: 1/2 . 1/2=(1/2)^2 ]

Con la tercera pregunta nos quedó, la mitad de la mitad de la mitad de los invitados.

[En el pizarrón, justo debajo del texto anterior, se escribe: 1/2 . 1/2 . 1/2=(1/2)^3 ]

Con la cuarta, la mitad de la mitad de la mitad de la mitad, es decir.

[En el pizarrón, justo debajo del texto anterior, se escribe: 1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2=(1/2)^4 ]

Y con la quinta 

[En el pizarrón, justo debajo del texto anterior, se escribe: 1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2=(1/2)^5 ]

Y como, un medio a la quinta es un 32avos, significa que el que cumple con todas las condiciones es uno de los treinta y dos invitados, y así encontramos al espía y salvamos al testigo, sin molestar a los demás invitados de la fiesta.

Esperamos les haya resultado interesante usar la lógica y las fracciones para resolver este desafío, y si alguno quiere estudiar un poco más del tema se denomina “algoritmo de búsqueda binaria”.

Los esperamos el año próximo.
Gracias.

[Por último, hay que tener en cuenta que pasados los grupos pude que alguno cuente de qué trata al resto, no hay problema, tampoco es “secreto de Estado”, pero, a partir, del tercer grupo, pregunten si ya saben de qué trata, de ser así, pregunten si entienden por qué hay que hacerlo así, y céntrense más en la justificación que en el juego, sin por eso dejarlo de lado.
También, pude ocurrir que algún estudiante sepa del tema, y los demás no, pues bien, invítenlo como colaborador.]

Para concluir, agradezco la colaboración de: roberprof
Y, la inspiración al preparar y proponer este tema provino de: 4 trucos matemáticos para ganar en los juegos de Hey Arnoldo Montaño

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Introducción al álgebra - "Diseño con fósforos"

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Ciclo Orientado Secundaria

Jornada de Práctica en las Escuelas Secundarias de Mantilla y de Chavarría

Presentación, actividad y consideraciones para el Ciclo Orientado
Profesorado de Educación Secundaria en Matemática – 2016

Introducción al Álgebra - "Diseño con fósforos"*

* Esta propuesta considera actividades que figuran en el texto que cito en referencias al pié de página, aunque está pensada y organizada con una intención muy diferente al que proponen el mismo.

[Nota 1: Lo que figura entre corchetes son referencias al respecto del encuadre metodológico, los recursos, y otras consideraciones que estimo relevantes] 

[Nota 2: El texto en cursivas son algunas oraciones de guía para iniciar la clase; no se pretende que las enuncien literalmente pero sí que se respete el fundamento que las motiva y que se aclara entre corchetes]

Objetivo de la clase: 
Que los estudiantes logren establecer fórmulas que relacionen las cantidades involucradas, según las condiciones planteadas; como forma de modelización de la situación propuesta. Y sean capaces tanto de justificarlas como de operar con las mismas.

[Esta propuesta se centra en el trabajo en “grupo pequeños”, y en la posterior puesta en común de resultados (expresiones algebraicas); por lo que la “Presentación de la propuesta” funciona como introducción y debe ser breve]

Presentación de la propuesta: 

[Al inicio de la clase se ubican en el frente del curso con el rotafolio entre ustedes, en el centro. Uno, previa elección, se dirige a los estudiantes]

Buen día (o buenas tardes)

Nosotros somos estudiantes del profesorado de matemática del Instituto Superior de Formación Docente de San Roque, y venimos a compartir una jornada con ustedes como parte de nuestras prácticas.

No les vamos a dar clases pero queremos proponerles algunas actividades matemáticas, y para eso les pedimos que se agrupen de a dos o tres y, sepan, que pueden ocupar sus calculadoras o netbook.

[La intención es saludar, presentarse y dar ciertas pautas de trabajo, es fundamental tener presente que no venimos a “dar clases” en el sentido que usualmente se entiende a esta expresión; aunque sí tengamos un propósito para la jornada]
Mientras se organizan los grupos, quienes no presenten, van acercándose a los mismos y acomodándose]


Queremos proponerles considerar este diseño con fósforos.
[Se pasa a la segunda hoja del rotafolio]

¿Alguna vez jugaron a armar formas con fósforos?
¡Vamos no me miren así! O ¿acaso acá no corta la electricidad y se aburren?

[Siempre les digo que esto no es una cuestión estadística, pero la verdad es que es prácticamente improbable que alguien se ponga a reflexionar a partir de formar figuras con fósforos, y menos que lo considere un juego, incluso si tiene que estar sin electricidad. Casi parece un hecho que la mayoría prefiere aburrirse a pensar. En fin, deben considerar dos cuestiones que motivan este momento, primero que con objetos matemáticos aparentemente simples (formar triángulos) podemos considerar cuestiones más complejas de entender (expresiones algebraicas), y segundo, que no se requieren grandes recursos (ni siquiera los fósforos, porque sólo haremos mención a ellos). Nada de esto se dirá pero hay que hacerlo notar]

¿Cuántos fósforos se necesitan en éste caso? 
[Se señala la representación con tres triángulos. En este punto se espera que los estudiantes cuenten la cantidad de fósforos, dado que están ahí, a la vista; y aún no se ha analizado el caso. Con inmediatez se pasa a la siguiente:]

¿Cuántos fósforos se necesitan si se quieren formar seis triángulos?
[En particular, se solicita una cantidad equivalente al doble de la anterior, favoreciendo el debate sobre las posibilidades y limitaciones de razonamientos asociados a la proporcionalidad. Si les cuesta llegar al resultado correcto, se les recomienda dibujar y se concluye diciendo: No es proporcional. En este punto se busca que los estudiantes se familiaricen con la propuesta y comprendan algunos de sus aspectos, no se preocupen si no son capaces de formalizar o justificar los resultados. Ya llegará el momento.]

Ahora, en grupos traten de responder a estas preguntas [se da vuelta la siguiente página del rotafolio], nosotros podemos guiarlos, por lo que no duden en preguntar, pero no nos pregunten cuánto es.

[Es fundamental respetar el “mismo diseño”, aunque lógicamente esto tenga un límite práctico, que en la abstracción y modelización se irá diluyendo]
[Puede que algún estudiante les pregunte por el fósforo faltante de los 222 (ícono de una marca comercial) pues bien, sean creativos, por ejemplo, respondan que se usó para prender la vela]
[Al avanzar sobre los interrogantes, la representación (aunque sea esquemática) y el conteo dejan de ser prácticos y dan lugar a métodos de cálculo, que en principio se manifiestan coloquialmente, cuando ustedes noten que en el grupo ya lo tienen “afianzado”, por ejemplo, preguntando para otros valores y obteniendo respuestas seguras y correctas, propongan traducirlo algebraicamente, así:]

Ahora vamos a escribir una fórmula que nos permita calcular la cantidad de fósforos para cualquier cantidad de triángulos que se nos pida. Primero, es muy importante que puedan explicar el método de cálculo. ¿Cómo habría que hacer para cualquier cantidad [refiriéndonos a los triángulos]? 

[Se debe estar atento e interceder ante cualquier expresión que pueda dificultar la traducción, aunque en ningún caso se debe decir lo que ellos han razonado; menos aún, lo que “deberían” decir. Por ejemplo, si dicen: “Al triple le sumo cinco”, se les pregunta: ¿Al triple de qué? Aunque estemos entendiendo a qué hacen referencia, pues se requiere de dicha formalización para avanzar en la propuesta]

[Para aunar criterios, pues no es nuestra intención entrar en estos detalles, se les dirá:]

Llamemos x a la cantidad de triángulos e y a la cantidad de fósforos, ¿cómo sería la fórmula?

[Obtenidas las fórmulas y habiendo conversado en los grupos sobre las mismas, asegurándonos su comprensión y funcionamiento, se pasa a la puesta en común donde un representante de cada grupo expondrá lo logrado. Tras esto se les dirá:]

Pudieron obtener una fórmula que determine la cantidad de fósforos en función a la cantidad de triángulos que se quieren formar; y lo mejor de todo es que pudieron hacerlo sin siquiera ocupar un fósforo.
Las expresiones algebraicas y la matemática, permiten, entre muchas otras cosas, resolver ciertas situaciones sin que los objetos involucrados estén presentes, es decir, haciendo abstracción de estos, y esa es una de sus grandes ventajas. 
Ahora, les proponemos este caso: 
[última hoja del rotafolio]


[Finalicen saludando y agradeciendo]

Referencia:

Instituto Nacional de Formación Docente (Junio 2016). Diseño con fósforos. Una experiencia en un contexto real. Clase 4: La gestión de la clase de Matemática. Módulo: Seminario Final . Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

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Nociones pre-algebraicas - "Diseño con fósforos"

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Ciclo Básico Secundaria

Jornada de Práctica en las Escuelas Secundarias de Mantilla y de Chavarría

Presentación, actividad y consideraciones para el Ciclo Básico
Profesorado de Educación Secundaria en Matemática – 2016

Nociones pre-algebraicas - "Diseño con fósforos"*

* Esta propuesta considera actividades que figuran en los textos que cito en referencias al pié de página, aunque está pensada y organizada con una intención muy diferente al que proponen los mismos.

[Nota 1: Lo que figura entre corchetes son referencias al respecto del encuadre metodológico, los recursos, y otras consideraciones que estimo relevantes] 

[Nota 2: El texto en cursivas son algunas oraciones de guía para iniciar la clase; no se pretende que las enuncien literalmente pero sí que se respete el fundamento que las motiva y que se aclara entre corchetes]

Objetivo de la clase: 
Que los estudiantes logren describir y argumentar la relación que se da entre las cantidades involucradas, según las condiciones planteadas por el problema; como forma de modelización de la situación propuesta. 

[Esta propuesta se centra en el trabajo en “grupo pequeños”, y en la posterior puesta en común de resultados (expresiones algebraicas); por lo que la “Presentación de la propuesta” funciona como introducción y debe ser breve]

Presentación de la propuesta: 

[Al inicio de la clase se ubican en el frente del curso con el rotafolio entre ustedes, en el centro. Uno, previa elección, se dirige a los estudiantes]

Buen día (o buenas tardes)

Nosotros somos estudiantes del profesorado de matemática del Instituto Superior de Formación Docente de San Roque, y venimos a compartir una jornada con ustedes como parte de nuestras prácticas.

No les vamos a dar clases pero queremos proponerles algunas actividades matemáticas, y para eso les pedimos que se agrupen de a dos o tres y, sepan, que pueden ocupar sus calculadoras o netbook.

[La intención es saludar, presentarse y dar ciertas pautas de trabajo, es fundamental tener presente que no venimos a “dar clases” en el sentido que usualmente se entiende a esta expresión; aunque sí tengamos un propósito para la jornada]
Mientras se organizan los grupos, quienes no presenten, van acercándose a los mismos y acomodándose]

Queremos proponerles considerar este diseño con fósforos. 
[Se pasa a la segunda hoja del rotafolio]

¿Alguna vez jugaron a armar formas con fósforos?
¡Vamos no me miren así! O ¿acaso acá no corta la electricidad y se aburren?

[Siempre les digo que esto no es una cuestión estadística, pero la verdad es que es prácticamente improbable que alguien se ponga a reflexionar a partir de formar figuras con fósforos, y menos que lo considere un juego, incluso si tiene que estar sin electricidad. Casi parece un hecho que la mayoría prefiere aburrirse a pensar. En fin, deben considerar dos cuestiones que motivan este momento, primero que con objetos matemáticos aparentemente simples (formar triángulos) podemos considerar cuestiones más complejas de entender (la modelización matemática), y segundo, que no se requieren grandes recursos (ni siquiera los fósforos, porque sólo haremos mención a ellos). Nada de esto se dirá pero hay que hacerlo notar]

¿Cuántos fósforos se necesitan en éste caso? 
[Se señala la representación con tres triángulos. En este punto se espera que los estudiantes cuenten la cantidad de fósforos, dado que están ahí, a la vista; y aún no se ha analizado el caso. Con inmediatez se pasa a la siguiente:]

Ahora vamos a hacerlo un poco más “emocionante” 
[Se pasa a la tercer hoja del rotafolio]

Con una caja de 222 fósforos, ¿cuáles la máxima cantidad de triángulos que puede tener nuestro diseño?
Nosotros podemos guiarlos, por lo que no duden en preguntar, pero no nos pregunten cuánto es.

[Esta tarea resulta mucho más compleja por varias cuestiones; en primer lugar, obviamente ya no se puede recurrir al mismo recurso visual y al conteo que sirvió para el caso anterior; y además, se cambia de variable, primero la incógnita fueron los fósforos y, ahora, son el dato. Y es fundamental esta consideración.]

[Algunas posibles situaciones que se presenten será:
- Algunos estudiantes dicen no entender: Señalando la imagen que se aprecia en la página del rotafolio, se les dice “Hay que formar esos triángulos con fósforos, por ejemplo, si tenés 10 fósforos ¿cuántos triángulos se pueden armar?”  una vez que se obtiene la respuesta correcta, sea por conteo o representación, se le pregunta “¿y si fuesen 30 fósforos?”  para luego, replantear la consigna dada
- Puede que a alguno se le ocurra pedir los fósforos, se les responderá que no son necesarios, basta imaginarlos
- También, que alguien diga que no le alcanza el ancho de la hoja para los dibujos, “y bueno, la podés usar apaisada, y si no, habrá que pensarlo de otra manera”
- Puede que algún grupo “copie” la idea de otro, en principio los dejan seguir, pero luego, les dicen: “ahora que ya lo entienden podrían pensarlo de otra manera que no sea la misma que ellos”; a menos que resulte un proceso más depurado que el original, los “europeos” llamaron “invento” a todo lo que "tomaron" de otras culturas bajo el supuesto de que ellos lo mejoraron; bueno, algo así.
- Por último, pudiera haber diferencias entre las opiniones de los individuos que forman el grupo, pues bien, se acepta, ésta no es una cuestión democrática, ni se busca convencer al otro, se debe proponer y debatir argumentos matemáticos, cuantos más, mejor.]

[En definitiva, es fundamental que:
- Reconozcan que el dibujo y el conteo, son recursos válidos pero insuficientes para el caso.
- Las operaciones “simples”, no son bastan para resolver la situación, es decir, sólo con dividir por 3 o por 5 no alcanza. Propongan contraejemplos a lo enunciado.
- No se trata de un caso de proporcionalidad, pueden descartar ese razonamiento pidiendo el doble de la cantidad de triángulos para otra cuya relación se conoce. Ahora bien, ciertos argumentos que toman la base de la proporcionalidad, aunque no la mencionen, pueden ser útiles; se debe estar atento a esto para no negar lo que sí es viable.
- No se espera una fórmula, pero sí un método, por lo que una vez que hallen el resultado correcto se les puede preguntar por otras cantidades para que lo ejerciten.]

[Al final, puede que algún estudiante les pregunte por el fósforo faltante de los 222 (ícono de una marca comercial) pues bien, sean creativos, por ejemplo, respondan que se usó para prender la vela]

[Resuelto el problema y habiendo conversado en los grupos sobre las estrategias de cálculo, asegurándonos su comprensión y funcionamiento, se pasa a la puesta en común donde un representante de cada grupo expondrá lo logrado. Tras esto se les dirá:]

Pudieron determinar la cantidad de fósforos en función a la cantidad de triángulos que se quieren formar; y lo mejor de todo es que lo hicieron sin siquiera ocupar un fósforo.
La matemática, permiten, entre muchas otras cosas, resolver ciertas situaciones sin que los objetos involucrados estén presentes, es decir, haciendo abstracción de estos, y esa es una de sus grandes ventajas. 
Ahora, les proponemos este caso: 
[última hoja del rotafolio]

[Finalicen saludando y agradeciendo]

Referencia:

Instituto Nacional de Formación Docente (Junio 2016). Diseño con fósforos. Una experiencia en un contexto real. Clase 4: La gestión de la clase de Matemática. Módulo: Seminario Final . Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación. 

Buscando regularidades: Casitas con fósforos
http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/110512_regularidades.elp/casitas_con_fsforos.html

Nociones pre-algebraicas - "Diseño con fósforos" por gerardobogado@gmail.com se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial 4.0 Internacional.