Introducción al álgebra - "Diseño con fósforos"

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Ciclo Orientado Secundaria

Jornada de Práctica en las Escuelas Secundarias de Mantilla y de Chavarría

Presentación, actividad y consideraciones para el Ciclo Orientado
Profesorado de Educación Secundaria en Matemática – 2016

Introducción al Álgebra - "Diseño con fósforos"*

* Esta propuesta considera actividades que figuran en el texto que cito en referencias al pié de página, aunque está pensada y organizada con una intención muy diferente al que proponen el mismo.

[Nota 1: Lo que figura entre corchetes son referencias al respecto del encuadre metodológico, los recursos, y otras consideraciones que estimo relevantes] 

[Nota 2: El texto en cursivas son algunas oraciones de guía para iniciar la clase; no se pretende que las enuncien literalmente pero sí que se respete el fundamento que las motiva y que se aclara entre corchetes]

Objetivo de la clase: 
Que los estudiantes logren establecer fórmulas que relacionen las cantidades involucradas, según las condiciones planteadas; como forma de modelización de la situación propuesta. Y sean capaces tanto de justificarlas como de operar con las mismas.

[Esta propuesta se centra en el trabajo en “grupo pequeños”, y en la posterior puesta en común de resultados (expresiones algebraicas); por lo que la “Presentación de la propuesta” funciona como introducción y debe ser breve]

Presentación de la propuesta: 

[Al inicio de la clase se ubican en el frente del curso con el rotafolio entre ustedes, en el centro. Uno, previa elección, se dirige a los estudiantes]

Buen día (o buenas tardes)

Nosotros somos estudiantes del profesorado de matemática del Instituto Superior de Formación Docente de San Roque, y venimos a compartir una jornada con ustedes como parte de nuestras prácticas.

No les vamos a dar clases pero queremos proponerles algunas actividades matemáticas, y para eso les pedimos que se agrupen de a dos o tres y, sepan, que pueden ocupar sus calculadoras o netbook.

[La intención es saludar, presentarse y dar ciertas pautas de trabajo, es fundamental tener presente que no venimos a “dar clases” en el sentido que usualmente se entiende a esta expresión; aunque sí tengamos un propósito para la jornada]
Mientras se organizan los grupos, quienes no presenten, van acercándose a los mismos y acomodándose]


Queremos proponerles considerar este diseño con fósforos.
[Se pasa a la segunda hoja del rotafolio]

¿Alguna vez jugaron a armar formas con fósforos?
¡Vamos no me miren así! O ¿acaso acá no corta la electricidad y se aburren?

[Siempre les digo que esto no es una cuestión estadística, pero la verdad es que es prácticamente improbable que alguien se ponga a reflexionar a partir de formar figuras con fósforos, y menos que lo considere un juego, incluso si tiene que estar sin electricidad. Casi parece un hecho que la mayoría prefiere aburrirse a pensar. En fin, deben considerar dos cuestiones que motivan este momento, primero que con objetos matemáticos aparentemente simples (formar triángulos) podemos considerar cuestiones más complejas de entender (expresiones algebraicas), y segundo, que no se requieren grandes recursos (ni siquiera los fósforos, porque sólo haremos mención a ellos). Nada de esto se dirá pero hay que hacerlo notar]

¿Cuántos fósforos se necesitan en éste caso? 
[Se señala la representación con tres triángulos. En este punto se espera que los estudiantes cuenten la cantidad de fósforos, dado que están ahí, a la vista; y aún no se ha analizado el caso. Con inmediatez se pasa a la siguiente:]

¿Cuántos fósforos se necesitan si se quieren formar seis triángulos?
[En particular, se solicita una cantidad equivalente al doble de la anterior, favoreciendo el debate sobre las posibilidades y limitaciones de razonamientos asociados a la proporcionalidad. Si les cuesta llegar al resultado correcto, se les recomienda dibujar y se concluye diciendo: No es proporcional. En este punto se busca que los estudiantes se familiaricen con la propuesta y comprendan algunos de sus aspectos, no se preocupen si no son capaces de formalizar o justificar los resultados. Ya llegará el momento.]

Ahora, en grupos traten de responder a estas preguntas [se da vuelta la siguiente página del rotafolio], nosotros podemos guiarlos, por lo que no duden en preguntar, pero no nos pregunten cuánto es.

[Es fundamental respetar el “mismo diseño”, aunque lógicamente esto tenga un límite práctico, que en la abstracción y modelización se irá diluyendo]
[Puede que algún estudiante les pregunte por el fósforo faltante de los 222 (ícono de una marca comercial) pues bien, sean creativos, por ejemplo, respondan que se usó para prender la vela]
[Al avanzar sobre los interrogantes, la representación (aunque sea esquemática) y el conteo dejan de ser prácticos y dan lugar a métodos de cálculo, que en principio se manifiestan coloquialmente, cuando ustedes noten que en el grupo ya lo tienen “afianzado”, por ejemplo, preguntando para otros valores y obteniendo respuestas seguras y correctas, propongan traducirlo algebraicamente, así:]

Ahora vamos a escribir una fórmula que nos permita calcular la cantidad de fósforos para cualquier cantidad de triángulos que se nos pida. Primero, es muy importante que puedan explicar el método de cálculo. ¿Cómo habría que hacer para cualquier cantidad [refiriéndonos a los triángulos]? 

[Se debe estar atento e interceder ante cualquier expresión que pueda dificultar la traducción, aunque en ningún caso se debe decir lo que ellos han razonado; menos aún, lo que “deberían” decir. Por ejemplo, si dicen: “Al triple le sumo cinco”, se les pregunta: ¿Al triple de qué? Aunque estemos entendiendo a qué hacen referencia, pues se requiere de dicha formalización para avanzar en la propuesta]

[Para aunar criterios, pues no es nuestra intención entrar en estos detalles, se les dirá:]

Llamemos x a la cantidad de triángulos e y a la cantidad de fósforos, ¿cómo sería la fórmula?

[Obtenidas las fórmulas y habiendo conversado en los grupos sobre las mismas, asegurándonos su comprensión y funcionamiento, se pasa a la puesta en común donde un representante de cada grupo expondrá lo logrado. Tras esto se les dirá:]

Pudieron obtener una fórmula que determine la cantidad de fósforos en función a la cantidad de triángulos que se quieren formar; y lo mejor de todo es que pudieron hacerlo sin siquiera ocupar un fósforo.
Las expresiones algebraicas y la matemática, permiten, entre muchas otras cosas, resolver ciertas situaciones sin que los objetos involucrados estén presentes, es decir, haciendo abstracción de estos, y esa es una de sus grandes ventajas. 
Ahora, les proponemos este caso: 
[última hoja del rotafolio]


[Finalicen saludando y agradeciendo]

Referencia:

Instituto Nacional de Formación Docente (Junio 2016). Diseño con fósforos. Una experiencia en un contexto real. Clase 4: La gestión de la clase de Matemática. Módulo: Seminario Final . Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

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