Algoritmo de Búsqueda Binaria

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Ciclo Orientado Secundaria

Jornada de Presentación de Carreras – 2016
Profesorado de Educación Secundaria en Matemática

Presentación, actividad y consideraciones

Algoritmo de Búsqueda Binaria

[Nota 1: Lo que figura entre corchetes son referencias al respecto del encuadre metodológico, los recursos, y otras consideraciones que estimo relevantes] 

[Nota 2: El texto en cursivas son algunas oraciones de guía para iniciar la presentación; no se pretende que las enuncien literalmente pero sí que se respete el fundamento que las motiva y que se aclara entre corchetes]

Propósito general: 

Ofrecer, como parte de la presentación de la Carrera, una actividad para los presentes que ponga en juego la búsqueda de un resultado mediante un proceso lógico de eliminación de posibilidades (Algoritmo de búsqueda binaria), y la posterior explicitación de las operaciones involucradas.

Introducción: 

[Se ubican en el frente del curso con la lámina dispuesta en el centro del pizarrón. Uno, previa elección, se dirige a los estudiantes]

Buen tardes (o buenas noches)

Nosotros somos estudiantes del profesorado de matemática y vamos a compartir con ustedes algunos aspectos de la Carrera, pero, primero queremos proponerles un desafío.

[El presentador se hace a un lado para dejar visible, a todos los presentes, la lámina con los rostros]

De estos invitados a una fiesta, uno, es un espía; y el único testigo que puede identificarlo está envenado, sólo tenemos 5 minutos para averiguar quién es y conseguir el antídoto. 
El desafío es hacerlo con sólo 5 preguntas que se respondan por sí o por no.

Para que no haya dudas, en este sobre está la imagen de quien es el espía.

¿Quién será?

[A alguno de los presentes se le puede ocurrir hacer pasar a cada invitado frente al testigo y que éste, asienta cuando ve al espía; díganle que no pueden generar pánico entre los presentes, además el espía lo notaría y huiría. También, podrían decir, que el testigo puede describir al espía; pues no, porque el veneno lo tiene paralizado, sólo puede parpadear deliberadamente para afirmar. Todo esto puede parecer “tontería” pero es muy importante, primero, porque al que se le ocurre y lo dice, está decidido a buscar una alternativa (por los motivos que sea), y es lo que deseamos, que piensen alternativas; segundo, porque, lo nuestro es la docencia, y sabemos bien que imponer lo que pretendemos no es el camino; y tercero, porque, en matemática es muy importante respetar condiciones, pues bien, estas son las condiciones y bajo las mismas debemos pensar la tarea]

[Se espera que los estudiantes planteen preguntas, anímenlos a hacerlo, y respondan las mismas. Tal vez, alguno diga: seguro es hombre (o pelado); refuercen ese hecho diciendo: “TODOS son …”]

Desarrollo:

[Superados los 5 minutos y en caso de que no den con la respuesta correcta bajo un método eficiente, es decir, el azar está en nuestra contra y puede ser que adivinen, aunque sólo se tenga poco más del 3% de probabilidad; se pasa a este momento]

Ahora vamos a hacerlo al revés; un voluntario…
Vamos, alguien que pase a elegir uno de los invitados sin mostrármelo, hace de testigo, y yo hago las preguntas.

[Pasa, se lo saluda y se le pregunta el nombre]

Bueno, ahora me voy a dar vuelta, para no ver; vos elegí uno y señalalo.

[Hecho eso, las preguntas a plantear son las siguientes, aunque lo que ocurra dependerá de las respuestas. En este sentido sólo les propongo un ejemplo, y hay que practicar el funcionamiento.
Supongamos la imagen elegida sea:]

¿Tiene la cara ovalada? – NO [expliciten que, por lo tanto, debe ser rectangular]
¿Tiene los ojos grandes? – NO [misma consideración, y así, sucesivamente]
¿Tiene la nariz grande? – NO
¿Sonríe? – SI
¿Tiene barba? - SI

En definitiva, tiene la cabeza rectangular, los ojos pequeños, la nariz pequeña, sonríe y tiene barba. Es decir, éste. [y lo señalan]

[Si el tiempo así lo permitiese (lo que sería óptimo), se vuelve a realizar la tarea, es más, si los ven confiados (al menos a uno le va a “caer la ficha”) le ofrecen la oportunidad de preguntar]

Conclusión:

Como pudieron notar con cada pregunta fuimos descartando la mitad de las posibilidades y nos quedamos con la otra parte.

[En el pizarrón se escribe: 1/2 ]

Entonces, con la segunda pregunta nos quedó, la mitad de la mitad de los invitados como posibles.

[En el pizarrón, justo debajo del texto anterior, se escribe: 1/2 . 1/2=(1/2)^2 ]

Con la tercera pregunta nos quedó, la mitad de la mitad de la mitad de los invitados.

[En el pizarrón, justo debajo del texto anterior, se escribe: 1/2 . 1/2 . 1/2=(1/2)^3 ]

Con la cuarta, la mitad de la mitad de la mitad de la mitad, es decir.

[En el pizarrón, justo debajo del texto anterior, se escribe: 1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2=(1/2)^4 ]

Y con la quinta 

[En el pizarrón, justo debajo del texto anterior, se escribe: 1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2=(1/2)^5 ]

Y como, un medio a la quinta es un 32avos, significa que el que cumple con todas las condiciones es uno de los treinta y dos invitados, y así encontramos al espía y salvamos al testigo, sin molestar a los demás invitados de la fiesta.

Esperamos les haya resultado interesante usar la lógica y las fracciones para resolver este desafío, y si alguno quiere estudiar un poco más del tema se denomina “algoritmo de búsqueda binaria”.

Los esperamos el año próximo.
Gracias.

[Por último, hay que tener en cuenta que pasados los grupos pude que alguno cuente de qué trata al resto, no hay problema, tampoco es “secreto de Estado”, pero, a partir, del tercer grupo, pregunten si ya saben de qué trata, de ser así, pregunten si entienden por qué hay que hacerlo así, y céntrense más en la justificación que en el juego, sin por eso dejarlo de lado.
También, pude ocurrir que algún estudiante sepa del tema, y los demás no, pues bien, invítenlo como colaborador.]

Para concluir, agradezco la colaboración de: roberprof
Y, la inspiración al preparar y proponer este tema provino de: 4 trucos matemáticos para ganar en los juegos de Hey Arnoldo Montaño

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Introducción al álgebra - "Diseño con fósforos"

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Ciclo Orientado Secundaria

Jornada de Práctica en las Escuelas Secundarias de Mantilla y de Chavarría

Presentación, actividad y consideraciones para el Ciclo Orientado
Profesorado de Educación Secundaria en Matemática – 2016

Introducción al Álgebra - "Diseño con fósforos"*

* Esta propuesta considera actividades que figuran en el texto que cito en referencias al pié de página, aunque está pensada y organizada con una intención muy diferente al que proponen el mismo.

[Nota 1: Lo que figura entre corchetes son referencias al respecto del encuadre metodológico, los recursos, y otras consideraciones que estimo relevantes] 

[Nota 2: El texto en cursivas son algunas oraciones de guía para iniciar la clase; no se pretende que las enuncien literalmente pero sí que se respete el fundamento que las motiva y que se aclara entre corchetes]

Objetivo de la clase: 
Que los estudiantes logren establecer fórmulas que relacionen las cantidades involucradas, según las condiciones planteadas; como forma de modelización de la situación propuesta. Y sean capaces tanto de justificarlas como de operar con las mismas.

[Esta propuesta se centra en el trabajo en “grupo pequeños”, y en la posterior puesta en común de resultados (expresiones algebraicas); por lo que la “Presentación de la propuesta” funciona como introducción y debe ser breve]

Presentación de la propuesta: 

[Al inicio de la clase se ubican en el frente del curso con el rotafolio entre ustedes, en el centro. Uno, previa elección, se dirige a los estudiantes]

Buen día (o buenas tardes)

Nosotros somos estudiantes del profesorado de matemática del Instituto Superior de Formación Docente de San Roque, y venimos a compartir una jornada con ustedes como parte de nuestras prácticas.

No les vamos a dar clases pero queremos proponerles algunas actividades matemáticas, y para eso les pedimos que se agrupen de a dos o tres y, sepan, que pueden ocupar sus calculadoras o netbook.

[La intención es saludar, presentarse y dar ciertas pautas de trabajo, es fundamental tener presente que no venimos a “dar clases” en el sentido que usualmente se entiende a esta expresión; aunque sí tengamos un propósito para la jornada]
Mientras se organizan los grupos, quienes no presenten, van acercándose a los mismos y acomodándose]


Queremos proponerles considerar este diseño con fósforos.
[Se pasa a la segunda hoja del rotafolio]

¿Alguna vez jugaron a armar formas con fósforos?
¡Vamos no me miren así! O ¿acaso acá no corta la electricidad y se aburren?

[Siempre les digo que esto no es una cuestión estadística, pero la verdad es que es prácticamente improbable que alguien se ponga a reflexionar a partir de formar figuras con fósforos, y menos que lo considere un juego, incluso si tiene que estar sin electricidad. Casi parece un hecho que la mayoría prefiere aburrirse a pensar. En fin, deben considerar dos cuestiones que motivan este momento, primero que con objetos matemáticos aparentemente simples (formar triángulos) podemos considerar cuestiones más complejas de entender (expresiones algebraicas), y segundo, que no se requieren grandes recursos (ni siquiera los fósforos, porque sólo haremos mención a ellos). Nada de esto se dirá pero hay que hacerlo notar]

¿Cuántos fósforos se necesitan en éste caso? 
[Se señala la representación con tres triángulos. En este punto se espera que los estudiantes cuenten la cantidad de fósforos, dado que están ahí, a la vista; y aún no se ha analizado el caso. Con inmediatez se pasa a la siguiente:]

¿Cuántos fósforos se necesitan si se quieren formar seis triángulos?
[En particular, se solicita una cantidad equivalente al doble de la anterior, favoreciendo el debate sobre las posibilidades y limitaciones de razonamientos asociados a la proporcionalidad. Si les cuesta llegar al resultado correcto, se les recomienda dibujar y se concluye diciendo: No es proporcional. En este punto se busca que los estudiantes se familiaricen con la propuesta y comprendan algunos de sus aspectos, no se preocupen si no son capaces de formalizar o justificar los resultados. Ya llegará el momento.]

Ahora, en grupos traten de responder a estas preguntas [se da vuelta la siguiente página del rotafolio], nosotros podemos guiarlos, por lo que no duden en preguntar, pero no nos pregunten cuánto es.

[Es fundamental respetar el “mismo diseño”, aunque lógicamente esto tenga un límite práctico, que en la abstracción y modelización se irá diluyendo]
[Puede que algún estudiante les pregunte por el fósforo faltante de los 222 (ícono de una marca comercial) pues bien, sean creativos, por ejemplo, respondan que se usó para prender la vela]
[Al avanzar sobre los interrogantes, la representación (aunque sea esquemática) y el conteo dejan de ser prácticos y dan lugar a métodos de cálculo, que en principio se manifiestan coloquialmente, cuando ustedes noten que en el grupo ya lo tienen “afianzado”, por ejemplo, preguntando para otros valores y obteniendo respuestas seguras y correctas, propongan traducirlo algebraicamente, así:]

Ahora vamos a escribir una fórmula que nos permita calcular la cantidad de fósforos para cualquier cantidad de triángulos que se nos pida. Primero, es muy importante que puedan explicar el método de cálculo. ¿Cómo habría que hacer para cualquier cantidad [refiriéndonos a los triángulos]? 

[Se debe estar atento e interceder ante cualquier expresión que pueda dificultar la traducción, aunque en ningún caso se debe decir lo que ellos han razonado; menos aún, lo que “deberían” decir. Por ejemplo, si dicen: “Al triple le sumo cinco”, se les pregunta: ¿Al triple de qué? Aunque estemos entendiendo a qué hacen referencia, pues se requiere de dicha formalización para avanzar en la propuesta]

[Para aunar criterios, pues no es nuestra intención entrar en estos detalles, se les dirá:]

Llamemos x a la cantidad de triángulos e y a la cantidad de fósforos, ¿cómo sería la fórmula?

[Obtenidas las fórmulas y habiendo conversado en los grupos sobre las mismas, asegurándonos su comprensión y funcionamiento, se pasa a la puesta en común donde un representante de cada grupo expondrá lo logrado. Tras esto se les dirá:]

Pudieron obtener una fórmula que determine la cantidad de fósforos en función a la cantidad de triángulos que se quieren formar; y lo mejor de todo es que pudieron hacerlo sin siquiera ocupar un fósforo.
Las expresiones algebraicas y la matemática, permiten, entre muchas otras cosas, resolver ciertas situaciones sin que los objetos involucrados estén presentes, es decir, haciendo abstracción de estos, y esa es una de sus grandes ventajas. 
Ahora, les proponemos este caso: 
[última hoja del rotafolio]


[Finalicen saludando y agradeciendo]

Referencia:

Instituto Nacional de Formación Docente (Junio 2016). Diseño con fósforos. Una experiencia en un contexto real. Clase 4: La gestión de la clase de Matemática. Módulo: Seminario Final . Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

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Nociones pre-algebraicas - "Diseño con fósforos"

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Ciclo Básico Secundaria

Jornada de Práctica en las Escuelas Secundarias de Mantilla y de Chavarría

Presentación, actividad y consideraciones para el Ciclo Básico
Profesorado de Educación Secundaria en Matemática – 2016

Nociones pre-algebraicas - "Diseño con fósforos"*

* Esta propuesta considera actividades que figuran en los textos que cito en referencias al pié de página, aunque está pensada y organizada con una intención muy diferente al que proponen los mismos.

[Nota 1: Lo que figura entre corchetes son referencias al respecto del encuadre metodológico, los recursos, y otras consideraciones que estimo relevantes] 

[Nota 2: El texto en cursivas son algunas oraciones de guía para iniciar la clase; no se pretende que las enuncien literalmente pero sí que se respete el fundamento que las motiva y que se aclara entre corchetes]

Objetivo de la clase: 
Que los estudiantes logren describir y argumentar la relación que se da entre las cantidades involucradas, según las condiciones planteadas por el problema; como forma de modelización de la situación propuesta. 

[Esta propuesta se centra en el trabajo en “grupo pequeños”, y en la posterior puesta en común de resultados (expresiones algebraicas); por lo que la “Presentación de la propuesta” funciona como introducción y debe ser breve]

Presentación de la propuesta: 

[Al inicio de la clase se ubican en el frente del curso con el rotafolio entre ustedes, en el centro. Uno, previa elección, se dirige a los estudiantes]

Buen día (o buenas tardes)

Nosotros somos estudiantes del profesorado de matemática del Instituto Superior de Formación Docente de San Roque, y venimos a compartir una jornada con ustedes como parte de nuestras prácticas.

No les vamos a dar clases pero queremos proponerles algunas actividades matemáticas, y para eso les pedimos que se agrupen de a dos o tres y, sepan, que pueden ocupar sus calculadoras o netbook.

[La intención es saludar, presentarse y dar ciertas pautas de trabajo, es fundamental tener presente que no venimos a “dar clases” en el sentido que usualmente se entiende a esta expresión; aunque sí tengamos un propósito para la jornada]
Mientras se organizan los grupos, quienes no presenten, van acercándose a los mismos y acomodándose]

Queremos proponerles considerar este diseño con fósforos. 
[Se pasa a la segunda hoja del rotafolio]

¿Alguna vez jugaron a armar formas con fósforos?
¡Vamos no me miren así! O ¿acaso acá no corta la electricidad y se aburren?

[Siempre les digo que esto no es una cuestión estadística, pero la verdad es que es prácticamente improbable que alguien se ponga a reflexionar a partir de formar figuras con fósforos, y menos que lo considere un juego, incluso si tiene que estar sin electricidad. Casi parece un hecho que la mayoría prefiere aburrirse a pensar. En fin, deben considerar dos cuestiones que motivan este momento, primero que con objetos matemáticos aparentemente simples (formar triángulos) podemos considerar cuestiones más complejas de entender (la modelización matemática), y segundo, que no se requieren grandes recursos (ni siquiera los fósforos, porque sólo haremos mención a ellos). Nada de esto se dirá pero hay que hacerlo notar]

¿Cuántos fósforos se necesitan en éste caso? 
[Se señala la representación con tres triángulos. En este punto se espera que los estudiantes cuenten la cantidad de fósforos, dado que están ahí, a la vista; y aún no se ha analizado el caso. Con inmediatez se pasa a la siguiente:]

Ahora vamos a hacerlo un poco más “emocionante” 
[Se pasa a la tercer hoja del rotafolio]

Con una caja de 222 fósforos, ¿cuáles la máxima cantidad de triángulos que puede tener nuestro diseño?
Nosotros podemos guiarlos, por lo que no duden en preguntar, pero no nos pregunten cuánto es.

[Esta tarea resulta mucho más compleja por varias cuestiones; en primer lugar, obviamente ya no se puede recurrir al mismo recurso visual y al conteo que sirvió para el caso anterior; y además, se cambia de variable, primero la incógnita fueron los fósforos y, ahora, son el dato. Y es fundamental esta consideración.]

[Algunas posibles situaciones que se presenten será:
- Algunos estudiantes dicen no entender: Señalando la imagen que se aprecia en la página del rotafolio, se les dice “Hay que formar esos triángulos con fósforos, por ejemplo, si tenés 10 fósforos ¿cuántos triángulos se pueden armar?”  una vez que se obtiene la respuesta correcta, sea por conteo o representación, se le pregunta “¿y si fuesen 30 fósforos?”  para luego, replantear la consigna dada
- Puede que a alguno se le ocurra pedir los fósforos, se les responderá que no son necesarios, basta imaginarlos
- También, que alguien diga que no le alcanza el ancho de la hoja para los dibujos, “y bueno, la podés usar apaisada, y si no, habrá que pensarlo de otra manera”
- Puede que algún grupo “copie” la idea de otro, en principio los dejan seguir, pero luego, les dicen: “ahora que ya lo entienden podrían pensarlo de otra manera que no sea la misma que ellos”; a menos que resulte un proceso más depurado que el original, los “europeos” llamaron “invento” a todo lo que "tomaron" de otras culturas bajo el supuesto de que ellos lo mejoraron; bueno, algo así.
- Por último, pudiera haber diferencias entre las opiniones de los individuos que forman el grupo, pues bien, se acepta, ésta no es una cuestión democrática, ni se busca convencer al otro, se debe proponer y debatir argumentos matemáticos, cuantos más, mejor.]

[En definitiva, es fundamental que:
- Reconozcan que el dibujo y el conteo, son recursos válidos pero insuficientes para el caso.
- Las operaciones “simples”, no son bastan para resolver la situación, es decir, sólo con dividir por 3 o por 5 no alcanza. Propongan contraejemplos a lo enunciado.
- No se trata de un caso de proporcionalidad, pueden descartar ese razonamiento pidiendo el doble de la cantidad de triángulos para otra cuya relación se conoce. Ahora bien, ciertos argumentos que toman la base de la proporcionalidad, aunque no la mencionen, pueden ser útiles; se debe estar atento a esto para no negar lo que sí es viable.
- No se espera una fórmula, pero sí un método, por lo que una vez que hallen el resultado correcto se les puede preguntar por otras cantidades para que lo ejerciten.]

[Al final, puede que algún estudiante les pregunte por el fósforo faltante de los 222 (ícono de una marca comercial) pues bien, sean creativos, por ejemplo, respondan que se usó para prender la vela]

[Resuelto el problema y habiendo conversado en los grupos sobre las estrategias de cálculo, asegurándonos su comprensión y funcionamiento, se pasa a la puesta en común donde un representante de cada grupo expondrá lo logrado. Tras esto se les dirá:]

Pudieron determinar la cantidad de fósforos en función a la cantidad de triángulos que se quieren formar; y lo mejor de todo es que lo hicieron sin siquiera ocupar un fósforo.
La matemática, permiten, entre muchas otras cosas, resolver ciertas situaciones sin que los objetos involucrados estén presentes, es decir, haciendo abstracción de estos, y esa es una de sus grandes ventajas. 
Ahora, les proponemos este caso: 
[última hoja del rotafolio]

[Finalicen saludando y agradeciendo]

Referencia:

Instituto Nacional de Formación Docente (Junio 2016). Diseño con fósforos. Una experiencia en un contexto real. Clase 4: La gestión de la clase de Matemática. Módulo: Seminario Final . Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación. 

Buscando regularidades: Casitas con fósforos
http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/110512_regularidades.elp/casitas_con_fsforos.html

Nociones pre-algebraicas - "Diseño con fósforos" por gerardobogado@gmail.com se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial 4.0 Internacional.

Matemática - 1er Ciclo Primaria Calendario

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Primer Ciclo Primaria

Unidades de Tiempo: Calendario

Propuesta de articulación para el Primer Ciclo de la Educación Primaria

Esta propuesta contempla una serie de actividades articuladas de 1ro a 3er año del Primer Ciclo del Nivel Primario, bajo el objetivo general de “interpretar información contenida en el calendario”; graduando aquella que se involucrará según el año de escolaridad considerado, y siguiendo como referencia lo estipulado en los NAP. Por lo que, para el 1er año, se focalizará en el “mes en curso y el día de la semana”; para 2do: se incorporará la posibilidad de “determinar duraciones (meses, semanas y días), y en 3ro se ampliará la propuesta incluyendo las operaciones básicas estudiadas. Cabe aclarar que también en este Ciclo se contempla al reloj como instrumento para medir el tiempo pero no será considerado por esta propuesta pues, como se estableció al inicio, la misma se centra en el uso del calendario.

Otra de las características que es importante destacar de esta propuesta es que se origina tras la realización de mesas de trabajo de articulación de contenidos de Matemática entre el Nivel Inicial y el Primario en distintas Instituciones de la Localidad, de la que participaron docentes del los Niveles mencionados, así como estudiantes (residentes) del Profesorado de Educación Primaria y Coordinadores de Áreas del ISFD “Juan García de Cossio”, y que posteriormente fue tratado desde la Cátedra: Enseñanza de la Matemática de mismo Instituto. 

1er Año

Como se mencionó las tareas se focalizarán en el mes en curso, por lo que esta propuesta fue redactada considerando el mes de Septiembre de 2015, pero como es lógico deberá ajustarse según el momento del año en que se realice, aunque también es conveniente contemplar la recomendación: “Es importante tener presente este tipo de trabajo para no hacerlo muy aisladamente y con poca frecuencia; la idea es trabajar las cuestiones temporales acompañando los diversos acontecimientos del año y de la vida escolar de nuestros alumnos”, que figura en el Cuaderno para el Aula (NAP)

Se propone iniciar la clase pegando o colgando del pizarrón un calendario con el mes en curso, en nuestro caso, septiembre de 2015; el mismo debe ser visible por todos los alumnos y tiene la intención de rescatar ideas previas sobre el mismo y su uso cotidiano, para esto pueden emplearse preguntas como: ¿Conocen el calendario? ¿Para qué se utiliza? Buscando dialogar acerca de su empleo y centrando la atención en dicho objeto.

Tras el diálogo inicial se podría institucionalizar que: “el calendario es un instrumento que utilizamos para ubicar el mes en curso y los días”, claro está, estas palabras dependerán de las que surjan en el intercambio que abre la clase y se propone como ejemplo.

Luego, se puede continuar con el trabajo colectivo mediante preguntas más específicas al caso, por ejemplo: ¿podemos marcar qué día es hoy? E invitar a un alumno a realizar dicha acción.

También, ¿cuántos días tiene este mes?

Ante esta pregunta es importante hacer notar que aunque se plantea “cuántos” no se requiere contar para determinar dicha cantidad puesto que basta observar el último número. 

O bien, se puede reformular la pregunta diciendo: ¿cuál es el último día de este mes? Y luego especificar cuántos días tiene.

Estas nos permitirán compartir ciertas características del mismo, y por ende, acerca de las formas de medir el tiempo, en particular el hecho de que septiembre es uno de los meses del año, que está compuesto por 30 días, y que hoy es martes 22.

En un segundo momento de la clase se podría trabajar en parejas, entregando a cada una fotocopia que contenga la misma imagen que se presenta al inicio pero reducida en dimensión, y las siguiente consigna:

Marcar en el calendario:

- ¿qué día fue ayer?

- ¿qué día es mañana?

- ¿qué día será el próximo martes?

- ¿qué día de la semana fue 10 de septiembre?

Cuyas respuestas permitirán organizar una puesta en común que resalte la estructura del calendario, que contempla semejanzas y diferencias con el castillo numérico que es otra matriz a la cual los alumnos están habituados, y en este caso el significado (distinto respecto al castillo numérico) respecto al valor que se encuentra debajo de uno dado. Puntualmente el próximo martes será 29 (considerando hoy, 22), en contraparte a 32 que sería el número que se encuentra debajo de 22. Ahora bien, sería prudente esperar que algunas de estas cuestiones surjan de inquietudes de los propios alumnos.

El otro detalle propicio a tratar son aquellas cuestiones inherentes a las fechas, por ejemplo recordando los preparativos al “Día del Maestro”, y en este sentido sería oportuno incorporar otras referencias a acontecimientos particulares o propios de la Institución. Resaltando la importancia de que este trabajo acompañe los “diversos acontecimientos del año y de la vida escolar de nuestros alumnos”.

A modo de cierre y con el objeto de reforzar lo hecho se podría considerar como actividad para el cuaderno el responder a las siguientes preguntas mediante un calendario para cada alumno:

¿En qué mes estamos?

¿Cuál es el primer día del mes?

¿Cuál el último?

¿Qué día es hoy?

¿Cuándo se festeja el Día del Estudiante?

2do Año

En esta propuesta se considera desarrollado lo expuesto anteriormente[1], y, a partir de la misma, continuar con una línea de trabajo similar, para eso se podría iniciar la clase mediante un calendario del año en curso a pegar o colgar en el pizarrón, ahora bien, el mismo contendrá el año y no sólo el mes como en el caso de Primero, y las preguntas podrían ser:

¿En qué mes estamos? Y, ¿Cuántos meses tiene el año?

Resaltando el hecho de que el año está dividido en doce meses de los cuales Septiembre es uno de ellos (incluso se podría destacar que es el noveno en el orden)

Tras esto, se podría preguntar ¿qué día es hoy?

Pedir a un alumno que lo marque en el calendario y escribir (o bien, que lo realice el mismo alumno) este dato en el pizarrón, es decir:

“Hoy es 22 de Septiembre de 2015”

Destacando que el calendario es un instrumento que nos permite conocer los días y meses de un año.

Para continuar con la propuesta se podría colocar otro calendario que sólo contenga el mes en curso, y entregar una copia a cada alumno; y decir: El viernes de esta semana es la Maratón de Lectura ¿Cuántos días nos quedan para organizarla? 

Cabe aclarar que se toma como ejemplo el caso de la Maratón de Lectura y que pudiera ser cualquier otro acontecimiento que ocurra en el mes, en el que se tenga participación de la organización o de alguna actividad como será el caso. Ahora bien, lo importante es introducir una nueva tarea, que hasta el momento no fue considerada puesto que en Primero se trabajó a partir de la pregunta: cuándo…; y ahora, se considera también: cuánto... Es decir, incluyendo la determinación de duraciones, y sentando bases para su cálculo. 

Tras considerar las respuestas se pide que marquen en el calendario entregado el día de hoy y aquel en el que se realizará la Maratón de Lectura, resaltando que están en la misma semana porque se encuentran en la misma fila del calendario, y se propone: Vamos a armar una lámina que contenga imágenes de personas leyendo, las vamos a recortar de diarios o revistas, y para eso, les pido que para mañana ¿qué día es mañana?... Para mañana, miércoles 23 de septiembre traigan diarios o revistas viejas que puedan recortar, también voy a traer algunas y vamos a elegir las imágenes que formen la lámina. Y el jueves, ¿qué fecha va a ser?… El jueves 24, las pegamos en la lámina.

Como pueden ver el calendario nos ayuda a organizar las tareas que tenemos que realizar.

Ahora vamos a seguir trabajando con el calendario pero en los cuadernos.
Para este momento de la clase se proponen las siguientes preguntas:

¿Qué fecha fue el lunes? Y ¿el próximo lunes?
¿Cuáles son los días de la semana? Y ¿cuántos días tiene una semana?
¿Cuántos días faltan para que termine el mes?

[1] “En relación con las medidas de tiempo, el trabajo con el calendario como instrumento en el que están registrados los días y los meses del año se puede complejizar en relación con lo realizado en 1er año/grado. Si no se hubiera realizado este trabajo, convendrá comenzar con las actividades propuestas para ese año” Cuaderno para el Aula (NAP) 2do página 135


3er Año

Como se consideró con antelación, se suponen disponibles ciertos conocimientos previos, y con el objeto de rescatar los mismos se podría iniciar la clase planteando la siguiente pregunta:

¿Para qué utilizamos el calendario?

Destacando en el diálogo que el calendario es el instrumento en el que están registrados los días y los meses del año. Cabe resaltar que se espera que los estudiantes recuerden experiencias anteriores, y así pongan en consideración situaciones como la posibilidad de ubicar una fecha específica, anticipar qué día de la semana será, o fue, además de nombrar la posibilidad de determinar duraciones, en días o meses.

Luego, se continúa exponiendo un calendario del año en curso en el pizarrón y se podría preguntar:

¿Cuántos meses tiene el año?
¿Cuáles de estos tienen 30 días?
Y ¿Cuáles 31?
¿Hay algún mes que tenga menos de 30 días?

Con la intención de resaltar que de los 12 meses que componen el año, no todos tienen la misma duración, y en ese sentido, febrero es un mes especial. De darse la posibilidad se podría considerar hablar sobre los años bisiestos, aunque más no sea nombrando que cada cuatro años, febrero tienen 29 días, y a ese año se lo llama: año bisiesto.

Se podría seguir con esta pregunta:

¿Cuántos días tiene una semana?

Destacando sus denominaciones: Domingo, Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes y Sábado.

Y, luego: ¿Cuántas semanas tiene un mes?

Interrogante que puede responderse mediante el conteo de las mismas en el calendario; pero que además, abre la posibilidad de incorporar las operaciones para el cálculo de duraciones; en este caso, podría pensarse que si una semana tiene 7 días, dos tendrán 14, y cuatro 28; por lo que un mes tienen cuatro semanas (y a excepción de febrero cuando no es año bisiesto) algunos días (uno, dos, o tres días).

Incluso, se puede continuar el análisis particularizando para el mes en curso, preguntando: Entonces, ¿Cuántas semanas tiene septiembre?
Tras esto, y dependiendo del grado de resolución de las operaciones básicas que los estudiantes puedan realizar, se podría extender el caso preguntando ¿Cuántas semanas hay en un año?
En cuanto a ésta, la estrategia óptima resultará de dividir 365 por 7; pero sabiendo que éste no es un conocimiento disponible para el Año de Escolaridad considerado, se puede optar por contar mes a mes, o bien, agrupar según la duración de los mismos; por ejemplo:

Hay un mes (febrero) que tienen 28 días, por lo que cuenta con 4 semanas exactas. 
También hay 4 mese de 30 días (abril, junio, septiembre y noviembre) que tienen 4 semanas y 2 día cada uno, en total, 16 semanas y 8 días, es decir, 17 semanas y 1 día. 
Por último, hay 7 meses con 31 días (enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre) que tienen, cada uno, 4 semanas y 3 días; en total, 28 semanas y 21 días, es decir, 31 semanas.
En definitiva, habrá: 4 + 17 + 31 = 52 semanas; y 1 día (o 2 si fuese bisiesto)

Como actividad para el cuaderno se puede tratar:

Coloca V (Verdadero) o F (Falso)

Un año bisiesto tiene 366 días
3 semanas son 14 días
4 años son 40 meses
Medio año son 6 meses
28 días son 4 semanas

O bien:

Las siguientes preguntas preguntas recomendadas por el Cuadernillo de Actividades (NAP) página 128:

¿Cuántos días de clase tendremos en este mes? descartando los feriados y los fines de semana
¿Cuántos en el próximo mes?

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Matemática - 1er Ciclo Primaria Hoja Dividida

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Primer Ciclo Primaria

Hoja Dividida

Avanzar en la enseñanza de las operaciones básicas requiere atender a ciertas cuestiones previas, y para esto, nos valemos de estrategias y recursos que permiten ponerlas en juego, ya vimos algunas en cuanto a la suma, la resta o la multiplicación; y en esta entrada abordaremos una posibilidad respecto a la división.

Es importante rescatar que, al decir del Diseño Curricular (página 96), para el Segundo Año/Grado se consigna:

- Resolución de problemas de reparto y partición

- Expresión simbólica de las acciones realizadas: Uso del signo ÷

Y para el Tercer Año/Grado:

- Resolución de problemas de división mediante distintos procedimientos: restas o sumas reiteradas, búsqueda del factor y posteriormente utilización del algoritmo en el caso de la división por una cifra.

Es decir, antes de tratar a la división como operación se debe considerar situaciones que impliquen repartos (y particiones), y siguiendo con las propuestas compartidas paras las otras operaciones básicas, las cuales ofrecen una representación gráfica que permite a los estudiantes incluso contar para lograr el resultado, recomendamos el uso de la:

“Hoja dividida”: que, básicamente es una hoja rectangular en blanco que está dividida en partes del mismo tamaño, siendo esta cantidad de partes el divisor implicado. Cabe aclarar que al tratarse de un recurso inicial, ligado al conteo, se verá acotado en cuanto a posibilidades, es decir, podrá usarse para repartir cantidades menores a cuarenta en grupos no mayores que cuatro; este no es un limite “fijo” pero sí a considerar a los fines prácticos.

Un ejemplo, que figura en el NAP de 2° en la página 80, propone: 

Para un juego, se deben repartir 20 cartas en partes iguales entre 4 jugadores. 

¿Cuántas cartas recibirá cada uno?

Los recursos con los que se cuenta son 20 rectángulos pequeños de goma EVA y la “hoja dividida” en cuatro partes del mismo tamaño. En este punto, es importante destacar que en el Documento citado figuran, entre la página 80 y la 81, cinco procedimientos distintos de cálculo, pero como anticipamos el que proponemos se diferencia y focaliza en el empleo de un soporte físico, además del trabajo intuitivo.

Creemos que esta labor favorece la anticipación y memorización de resultados, aunque tal conjetura debería ser validada por un estudio, lo que es ajeno a nuestras posibilidades.

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Matemática - Multiplicación proporcionalidad directa

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Primer Ciclo Primaria

Mesa de trabajo sobre Secuencias Didácticas

Multiplicación en casos de proporcionalidad directa

El pasado 25 de junio nos reunimos maestros y profesores del área de matemática para conversar y definir una propuesta de enseñanza que contemple el desarrollo de un contenido particular y la posible articulación entre los Niveles de enseñanza, Primaria y Secundaria. Para esto se tomó como eje de trabajo la “multiplicación en casos de proporcionalidad directa”, un contenido acotado puesto que el tiempo de labor también lo era, además, uno de los objetivos fue la concreción de una secuencia de actividades, que se detalla más adelante.
Por otra parte, es necesario destacar que no son muchas las experiencias en esta modalidad de trabajo, y más aún por ser una propuesta interniveles de la que participaron profesores de matemática, maestros, estudiantes del Profesorado de Educación Primaria, y Residentes de dicha Carrera, esto lo hizo un desafío interesante del que llevamos conclusiones más que oportunas.

La propuesta se dividió en dos momentos, el primero de consideraciones Curriculares, por lo que se dispuso de los NAP y de un material de apoyo para 5to año de la Educación Primaria del que se tomó la actividad modelo (si el lector desea consultar la misma puede hacerlo en las páginas 73  y 74 del Cuadernos para el aula, matemática 5 - 1a ed. - Buenos Aires : Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, 2007); estos textos fueron solicitados a la biblioteca del ISFD “Juan García de Cossio”. Tras la lectura de párrafos pre-seleccionados se observó que el contenido propuesto está presente en los dos últimos años de la escolaridad primaria como en el primero de la secundaria, pero que el tratamiento del mismo varía en consideración y complejidad, en las palabras del documento considerado: “La construcción del concepto de proporcionalidad demanda varios años de la escolaridad”, pero recordemos que el recorte propuesto no centra la labor en esta relación sino en la operación seleccionada por lo que resultó necesario el rediseño de la secuencia modelo; y en esto nos detuvimos en la segunda mitad.
Para iniciar se leyó el modelo considerado, y se identificaron las variables didácticas presentes, resaltando el hecho de que las mismas están vinculadas al desarrollo de estrategias de resolución por parte de los estudiantes; en principio se consideraron como variables al costo, la cantidad de chicos y el tiempo; pero, esta última se redujo a constante al contemplarla en bloques de 10 minutos; aunque fue contemplada dentro de las posibles extensiones a la secuencia. Tras este análisis inicial se procedió a reescribir el enunciado y las consignas, en parte por lo antes dicho pero también para actualizar los precios; además, en todos los casos, se buscó que las consignas resulten breves, comprensibles y que favorezcan el contenido propuesto, a sabiendas de que las situaciones de proporcionalidad ofrecen la oportunidad de poner en juego variadas estrategia. En definitiva resultó:

En el parque acaban de instalar camas elásticas para saltar. Un cartel dice: 

a- Si Patricia quiere saltar 20 minutos ¿cuánto tendrá que pagar? Y si quiere saltar 30 minutos ¿cuánto tendrá que pagar?
b- Si entraron 9 chicos a saltar durante 10 minutos ¿Cuánto recaudó el boletero?
c- Para llevar el control de lo recaudado el boletero armó una tabla:

d- José y sus 6 primos le pidieron descuento al boletero, les dijo que le hacia a $18 los 10 minutos a cada uno ¿Cuánto tuvieron que pagar en total?
e- Aparecieron los hermanos de José, ahora en total son 12 chicos ¿Cuánto les cobrará?

Cada uno de los cuales fue seleccionado con un propósito; exponer a los estudiantes ante la situación, y evaluar la comprensión sobre el enunciado; realizar las operaciones involucradas; cambiar las variables consideradas para generar nuevos casos.
Por último, se consideró la posibilidad de extender la propuesta ofreciendo valores de aquella variable que hasta el momento resultó ser incógnita; lo que implicaría incorporar otras operaciones (en particular la división) como medio para el cálculo. También el trabajo sobre la relación a partir de la tabla y la consideración de propiedades. Lógicamente esto dependerá del año de escolaridad en el que se esté desarrollando la propuesta.
Comprendemos ésta es una propuesta acotada e inacabada, que puede ampliarse gracias a la experiencia y el análisis; e invitamos a compartirlo a fin de seguir reflexionando sobre la función que desempeñamos.

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Matemática - 1er Ciclo Primaria Cuadrícula Calculadora

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Primer Ciclo Primaria

Cuadrícula Calculadora

Al momento de enseñar la multiplicación muchos son los recursos y estrategias que podemos emplear; por lo general asociando esta operación al sentido de suma reiterada. 
Sin negar sus bondades, nos ocuparemos de otro sentido estableciendo algunas posibles ventajas del recurso empleado. 
El mismo lo denominaremos “cuadrícula calculadora” y básicamente es una hoja cuadriculada, sin ninguna otra referencia o notación; cabe aclarar que su dimensión dependerá de los valores considerados en la enseñanza, por lo que si se está trabajando la tabla del 4 resultará de 4 por 10 cuadraditos. Para unificarlo consideremos sea de 10 por 10. Además, sería conveniente que esté plastificada para poder reutilizarla en varias ocasiones.

Podemos iniciar con un enunciado similar a este: “Se desea cubrir un patio rectangular de 5 metros de largo por 3 metros de ancho, con baldosas cuadradas de 1 metro de lado ¿Cuántas se necesitarán?”
Apoyándose en la representación gráfica resulta un rectángulo de 5 por 3 subdividido en cuadrados de 1 por 1 y para determinar el total podemos: contar uno a uno, o sumar 3 cinco veces (o 5 tres veces).
Este enunciado permite el estudio de la multiplicación como organización rectangular, pero más allá de esto ofrece una representación gráfica que se vincula con lo solicitado, y que, consideraremos como recurso de cálculo.

Otras actividades que podemos tratar son: utilizando sillas ubicadas para un acto, etiquetas en una plancha o medicamentos en un blíster, por nombrar algunos ejemplos, en todas, las representaciones gráficas tienen forma rectangular ubicando los objetos en cada celda, intersección entre filas y columnas; es fundamental en este punto resaltar esta “forma” y aunque las situaciones se resuelvan por conteo o sumas reiteradas dar énfasis entre la asociación de la multiplicación y la forma rectangular subdividida en cuadrados.

Esta asociación permite tratar las multiplicaciones mediante el recurso propuesto, la cuadrícula calculadora, aclaramos que esto no limita ni inhibe el desarrollo de otras propuestas asociadas a otros sentidos de la multiplicación, como ser la suma reiterada o la combinatoria; es más, entendemos que tratar de “meter” todos los casos en esta “forma” no resultaría práctico ni conveniente.
Pero una vez abstraídos del problema, y puntualizando en el cálculo, podemos aprovecharlo como un recurso, que estimamos conveniente, para la resolución de la operación. Y esto se debe a que, por un lado ofrece una representación gráfica, que permite a los estudiantes incluso contar para lograr el resultado; pero por otro, favorece la anticipación, mediante el empleo de escalas.
Por ejemplo si la operación es: 5 x 4 bastaría con formar un rectángulo de 5 cuadraditos de un lado por 4 de otro lado consecutivo, unos podrían contar uno a uno, otros ir en escala 5, y 5, 10, y 5, 15, y 5, 20 (de la misma manera 4, y 4, 8...) y otros anticipar paso, 5, y 5, 10, y 10 de la otra mitad, 20.
Favoreciendo así que aunque las competencias de los estudiantes sean muy dispares en cuanto a esta operación, logren el resultado en cuestión.


Video

También creemos que favorece la memorización de las operaciones, aunque tal conjetura debería ser validada por un estudio, lo que es ajeno a nuestras posibilidades.

En este momento estamos llevando adelante esta propuesta, gracias a la colaboración de docentes de una escuela asociada y esperamos poder ofrecer más detalles al respecto.

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