Matemática - 1er Ciclo Primaria Calendario

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Primer Ciclo Primaria

Unidades de Tiempo: Calendario

Propuesta de articulación para el Primer Ciclo de la Educación Primaria

Esta propuesta contempla una serie de actividades articuladas de 1ro a 3er año del Primer Ciclo del Nivel Primario, bajo el objetivo general de “interpretar información contenida en el calendario”; graduando aquella que se involucrará según el año de escolaridad considerado, y siguiendo como referencia lo estipulado en los NAP. Por lo que, para el 1er año, se focalizará en el “mes en curso y el día de la semana”; para 2do: se incorporará la posibilidad de “determinar duraciones (meses, semanas y días), y en 3ro se ampliará la propuesta incluyendo las operaciones básicas estudiadas. Cabe aclarar que también en este Ciclo se contempla al reloj como instrumento para medir el tiempo pero no será considerado por esta propuesta pues, como se estableció al inicio, la misma se centra en el uso del calendario.

Otra de las características que es importante destacar de esta propuesta es que se origina tras la realización de mesas de trabajo de articulación de contenidos de Matemática entre el Nivel Inicial y el Primario en distintas Instituciones de la Localidad, de la que participaron docentes del los Niveles mencionados, así como estudiantes (residentes) del Profesorado de Educación Primaria y Coordinadores de Áreas del ISFD “Juan García de Cossio”, y que posteriormente fue tratado desde la Cátedra: Enseñanza de la Matemática de mismo Instituto. 

1er Año

Como se mencionó las tareas se focalizarán en el mes en curso, por lo que esta propuesta fue redactada considerando el mes de Septiembre de 2015, pero como es lógico deberá ajustarse según el momento del año en que se realice, aunque también es conveniente contemplar la recomendación: “Es importante tener presente este tipo de trabajo para no hacerlo muy aisladamente y con poca frecuencia; la idea es trabajar las cuestiones temporales acompañando los diversos acontecimientos del año y de la vida escolar de nuestros alumnos”, que figura en el Cuaderno para el Aula (NAP)

Se propone iniciar la clase pegando o colgando del pizarrón un calendario con el mes en curso, en nuestro caso, septiembre de 2015; el mismo debe ser visible por todos los alumnos y tiene la intención de rescatar ideas previas sobre el mismo y su uso cotidiano, para esto pueden emplearse preguntas como: ¿Conocen el calendario? ¿Para qué se utiliza? Buscando dialogar acerca de su empleo y centrando la atención en dicho objeto.

Tras el diálogo inicial se podría institucionalizar que: “el calendario es un instrumento que utilizamos para ubicar el mes en curso y los días”, claro está, estas palabras dependerán de las que surjan en el intercambio que abre la clase y se propone como ejemplo.

Luego, se puede continuar con el trabajo colectivo mediante preguntas más específicas al caso, por ejemplo: ¿podemos marcar qué día es hoy? E invitar a un alumno a realizar dicha acción.

También, ¿cuántos días tiene este mes?

Ante esta pregunta es importante hacer notar que aunque se plantea “cuántos” no se requiere contar para determinar dicha cantidad puesto que basta observar el último número. 

O bien, se puede reformular la pregunta diciendo: ¿cuál es el último día de este mes? Y luego especificar cuántos días tiene.

Estas nos permitirán compartir ciertas características del mismo, y por ende, acerca de las formas de medir el tiempo, en particular el hecho de que septiembre es uno de los meses del año, que está compuesto por 30 días, y que hoy es martes 22.

En un segundo momento de la clase se podría trabajar en parejas, entregando a cada una fotocopia que contenga la misma imagen que se presenta al inicio pero reducida en dimensión, y las siguiente consigna:

Marcar en el calendario:

- ¿qué día fue ayer?

- ¿qué día es mañana?

- ¿qué día será el próximo martes?

- ¿qué día de la semana fue 10 de septiembre?

Cuyas respuestas permitirán organizar una puesta en común que resalte la estructura del calendario, que contempla semejanzas y diferencias con el castillo numérico que es otra matriz a la cual los alumnos están habituados, y en este caso el significado (distinto respecto al castillo numérico) respecto al valor que se encuentra debajo de uno dado. Puntualmente el próximo martes será 29 (considerando hoy, 22), en contraparte a 32 que sería el número que se encuentra debajo de 22. Ahora bien, sería prudente esperar que algunas de estas cuestiones surjan de inquietudes de los propios alumnos.

El otro detalle propicio a tratar son aquellas cuestiones inherentes a las fechas, por ejemplo recordando los preparativos al “Día del Maestro”, y en este sentido sería oportuno incorporar otras referencias a acontecimientos particulares o propios de la Institución. Resaltando la importancia de que este trabajo acompañe los “diversos acontecimientos del año y de la vida escolar de nuestros alumnos”.

A modo de cierre y con el objeto de reforzar lo hecho se podría considerar como actividad para el cuaderno el responder a las siguientes preguntas mediante un calendario para cada alumno:

¿En qué mes estamos?

¿Cuál es el primer día del mes?

¿Cuál el último?

¿Qué día es hoy?

¿Cuándo se festeja el Día del Estudiante?

2do Año

En esta propuesta se considera desarrollado lo expuesto anteriormente[1], y, a partir de la misma, continuar con una línea de trabajo similar, para eso se podría iniciar la clase mediante un calendario del año en curso a pegar o colgar en el pizarrón, ahora bien, el mismo contendrá el año y no sólo el mes como en el caso de Primero, y las preguntas podrían ser:

¿En qué mes estamos? Y, ¿Cuántos meses tiene el año?

Resaltando el hecho de que el año está dividido en doce meses de los cuales Septiembre es uno de ellos (incluso se podría destacar que es el noveno en el orden)

Tras esto, se podría preguntar ¿qué día es hoy?

Pedir a un alumno que lo marque en el calendario y escribir (o bien, que lo realice el mismo alumno) este dato en el pizarrón, es decir:

“Hoy es 22 de Septiembre de 2015”

Destacando que el calendario es un instrumento que nos permite conocer los días y meses de un año.

Para continuar con la propuesta se podría colocar otro calendario que sólo contenga el mes en curso, y entregar una copia a cada alumno; y decir: El viernes de esta semana es la Maratón de Lectura ¿Cuántos días nos quedan para organizarla? 

Cabe aclarar que se toma como ejemplo el caso de la Maratón de Lectura y que pudiera ser cualquier otro acontecimiento que ocurra en el mes, en el que se tenga participación de la organización o de alguna actividad como será el caso. Ahora bien, lo importante es introducir una nueva tarea, que hasta el momento no fue considerada puesto que en Primero se trabajó a partir de la pregunta: cuándo…; y ahora, se considera también: cuánto... Es decir, incluyendo la determinación de duraciones, y sentando bases para su cálculo. 

Tras considerar las respuestas se pide que marquen en el calendario entregado el día de hoy y aquel en el que se realizará la Maratón de Lectura, resaltando que están en la misma semana porque se encuentran en la misma fila del calendario, y se propone: Vamos a armar una lámina que contenga imágenes de personas leyendo, las vamos a recortar de diarios o revistas, y para eso, les pido que para mañana ¿qué día es mañana?... Para mañana, miércoles 23 de septiembre traigan diarios o revistas viejas que puedan recortar, también voy a traer algunas y vamos a elegir las imágenes que formen la lámina. Y el jueves, ¿qué fecha va a ser?… El jueves 24, las pegamos en la lámina.

Como pueden ver el calendario nos ayuda a organizar las tareas que tenemos que realizar.

Ahora vamos a seguir trabajando con el calendario pero en los cuadernos.
Para este momento de la clase se proponen las siguientes preguntas:

¿Qué fecha fue el lunes? Y ¿el próximo lunes?
¿Cuáles son los días de la semana? Y ¿cuántos días tiene una semana?
¿Cuántos días faltan para que termine el mes?

[1] “En relación con las medidas de tiempo, el trabajo con el calendario como instrumento en el que están registrados los días y los meses del año se puede complejizar en relación con lo realizado en 1er año/grado. Si no se hubiera realizado este trabajo, convendrá comenzar con las actividades propuestas para ese año” Cuaderno para el Aula (NAP) 2do página 135


3er Año

Como se consideró con antelación, se suponen disponibles ciertos conocimientos previos, y con el objeto de rescatar los mismos se podría iniciar la clase planteando la siguiente pregunta:

¿Para qué utilizamos el calendario?

Destacando en el diálogo que el calendario es el instrumento en el que están registrados los días y los meses del año. Cabe resaltar que se espera que los estudiantes recuerden experiencias anteriores, y así pongan en consideración situaciones como la posibilidad de ubicar una fecha específica, anticipar qué día de la semana será, o fue, además de nombrar la posibilidad de determinar duraciones, en días o meses.

Luego, se continúa exponiendo un calendario del año en curso en el pizarrón y se podría preguntar:

¿Cuántos meses tiene el año?
¿Cuáles de estos tienen 30 días?
Y ¿Cuáles 31?
¿Hay algún mes que tenga menos de 30 días?

Con la intención de resaltar que de los 12 meses que componen el año, no todos tienen la misma duración, y en ese sentido, febrero es un mes especial. De darse la posibilidad se podría considerar hablar sobre los años bisiestos, aunque más no sea nombrando que cada cuatro años, febrero tienen 29 días, y a ese año se lo llama: año bisiesto.

Se podría seguir con esta pregunta:

¿Cuántos días tiene una semana?

Destacando sus denominaciones: Domingo, Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes y Sábado.

Y, luego: ¿Cuántas semanas tiene un mes?

Interrogante que puede responderse mediante el conteo de las mismas en el calendario; pero que además, abre la posibilidad de incorporar las operaciones para el cálculo de duraciones; en este caso, podría pensarse que si una semana tiene 7 días, dos tendrán 14, y cuatro 28; por lo que un mes tienen cuatro semanas (y a excepción de febrero cuando no es año bisiesto) algunos días (uno, dos, o tres días).

Incluso, se puede continuar el análisis particularizando para el mes en curso, preguntando: Entonces, ¿Cuántas semanas tiene septiembre?
Tras esto, y dependiendo del grado de resolución de las operaciones básicas que los estudiantes puedan realizar, se podría extender el caso preguntando ¿Cuántas semanas hay en un año?
En cuanto a ésta, la estrategia óptima resultará de dividir 365 por 7; pero sabiendo que éste no es un conocimiento disponible para el Año de Escolaridad considerado, se puede optar por contar mes a mes, o bien, agrupar según la duración de los mismos; por ejemplo:

Hay un mes (febrero) que tienen 28 días, por lo que cuenta con 4 semanas exactas. 
También hay 4 mese de 30 días (abril, junio, septiembre y noviembre) que tienen 4 semanas y 2 día cada uno, en total, 16 semanas y 8 días, es decir, 17 semanas y 1 día. 
Por último, hay 7 meses con 31 días (enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre) que tienen, cada uno, 4 semanas y 3 días; en total, 28 semanas y 21 días, es decir, 31 semanas.
En definitiva, habrá: 4 + 17 + 31 = 52 semanas; y 1 día (o 2 si fuese bisiesto)

Como actividad para el cuaderno se puede tratar:

Coloca V (Verdadero) o F (Falso)

Un año bisiesto tiene 366 días
3 semanas son 14 días
4 años son 40 meses
Medio año son 6 meses
28 días son 4 semanas

O bien:

Las siguientes preguntas preguntas recomendadas por el Cuadernillo de Actividades (NAP) página 128:

¿Cuántos días de clase tendremos en este mes? descartando los feriados y los fines de semana
¿Cuántos en el próximo mes?

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Matemática - 1er Ciclo Primaria Hoja Dividida

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Matemática – Primer Ciclo Primaria

Hoja Dividida

Avanzar en la enseñanza de las operaciones básicas requiere atender a ciertas cuestiones previas, y para esto, nos valemos de estrategias y recursos que permiten ponerlas en juego, ya vimos algunas en cuanto a la suma, la resta o la multiplicación; y en esta entrada abordaremos una posibilidad respecto a la división.

Es importante rescatar que, al decir del Diseño Curricular (página 96), para el Segundo Año/Grado se consigna:

- Resolución de problemas de reparto y partición

- Expresión simbólica de las acciones realizadas: Uso del signo ÷

Y para el Tercer Año/Grado:

- Resolución de problemas de división mediante distintos procedimientos: restas o sumas reiteradas, búsqueda del factor y posteriormente utilización del algoritmo en el caso de la división por una cifra.

Es decir, antes de tratar a la división como operación se debe considerar situaciones que impliquen repartos (y particiones), y siguiendo con las propuestas compartidas paras las otras operaciones básicas, las cuales ofrecen una representación gráfica que permite a los estudiantes incluso contar para lograr el resultado, recomendamos el uso de la:

“Hoja dividida”: que, básicamente es una hoja rectangular en blanco que está dividida en partes del mismo tamaño, siendo esta cantidad de partes el divisor implicado. Cabe aclarar que al tratarse de un recurso inicial, ligado al conteo, se verá acotado en cuanto a posibilidades, es decir, podrá usarse para repartir cantidades menores a cuarenta en grupos no mayores que cuatro; este no es un limite “fijo” pero sí a considerar a los fines prácticos.

Un ejemplo, que figura en el NAP de 2° en la página 80, propone: 

Para un juego, se deben repartir 20 cartas en partes iguales entre 4 jugadores. 

¿Cuántas cartas recibirá cada uno?

Los recursos con los que se cuenta son 20 rectángulos pequeños de goma EVA y la “hoja dividida” en cuatro partes del mismo tamaño. En este punto, es importante destacar que en el Documento citado figuran, entre la página 80 y la 81, cinco procedimientos distintos de cálculo, pero como anticipamos el que proponemos se diferencia y focaliza en el empleo de un soporte físico, además del trabajo intuitivo.

Creemos que esta labor favorece la anticipación y memorización de resultados, aunque tal conjetura debería ser validada por un estudio, lo que es ajeno a nuestras posibilidades.

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Matemática - Multiplicación proporcionalidad directa

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Matemática – Primer Ciclo Primaria

Mesa de trabajo sobre Secuencias Didácticas

Multiplicación en casos de proporcionalidad directa

El pasado 25 de junio nos reunimos maestros y profesores del área de matemática para conversar y definir una propuesta de enseñanza que contemple el desarrollo de un contenido particular y la posible articulación entre los Niveles de enseñanza, Primaria y Secundaria. Para esto se tomó como eje de trabajo la “multiplicación en casos de proporcionalidad directa”, un contenido acotado puesto que el tiempo de labor también lo era, además, uno de los objetivos fue la concreción de una secuencia de actividades, que se detalla más adelante.
Por otra parte, es necesario destacar que no son muchas las experiencias en esta modalidad de trabajo, y más aún por ser una propuesta interniveles de la que participaron profesores de matemática, maestros, estudiantes del Profesorado de Educación Primaria, y Residentes de dicha Carrera, esto lo hizo un desafío interesante del que llevamos conclusiones más que oportunas.

La propuesta se dividió en dos momentos, el primero de consideraciones Curriculares, por lo que se dispuso de los NAP y de un material de apoyo para 5to año de la Educación Primaria del que se tomó la actividad modelo (si el lector desea consultar la misma puede hacerlo en las páginas 73  y 74 del Cuadernos para el aula, matemática 5 - 1a ed. - Buenos Aires : Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, 2007); estos textos fueron solicitados a la biblioteca del ISFD “Juan García de Cossio”. Tras la lectura de párrafos pre-seleccionados se observó que el contenido propuesto está presente en los dos últimos años de la escolaridad primaria como en el primero de la secundaria, pero que el tratamiento del mismo varía en consideración y complejidad, en las palabras del documento considerado: “La construcción del concepto de proporcionalidad demanda varios años de la escolaridad”, pero recordemos que el recorte propuesto no centra la labor en esta relación sino en la operación seleccionada por lo que resultó necesario el rediseño de la secuencia modelo; y en esto nos detuvimos en la segunda mitad.
Para iniciar se leyó el modelo considerado, y se identificaron las variables didácticas presentes, resaltando el hecho de que las mismas están vinculadas al desarrollo de estrategias de resolución por parte de los estudiantes; en principio se consideraron como variables al costo, la cantidad de chicos y el tiempo; pero, esta última se redujo a constante al contemplarla en bloques de 10 minutos; aunque fue contemplada dentro de las posibles extensiones a la secuencia. Tras este análisis inicial se procedió a reescribir el enunciado y las consignas, en parte por lo antes dicho pero también para actualizar los precios; además, en todos los casos, se buscó que las consignas resulten breves, comprensibles y que favorezcan el contenido propuesto, a sabiendas de que las situaciones de proporcionalidad ofrecen la oportunidad de poner en juego variadas estrategia. En definitiva resultó:

En el parque acaban de instalar camas elásticas para saltar. Un cartel dice: 

a- Si Patricia quiere saltar 20 minutos ¿cuánto tendrá que pagar? Y si quiere saltar 30 minutos ¿cuánto tendrá que pagar?
b- Si entraron 9 chicos a saltar durante 10 minutos ¿Cuánto recaudó el boletero?
c- Para llevar el control de lo recaudado el boletero armó una tabla:

d- José y sus 6 primos le pidieron descuento al boletero, les dijo que le hacia a $18 los 10 minutos a cada uno ¿Cuánto tuvieron que pagar en total?
e- Aparecieron los hermanos de José, ahora en total son 12 chicos ¿Cuánto les cobrará?

Cada uno de los cuales fue seleccionado con un propósito; exponer a los estudiantes ante la situación, y evaluar la comprensión sobre el enunciado; realizar las operaciones involucradas; cambiar las variables consideradas para generar nuevos casos.
Por último, se consideró la posibilidad de extender la propuesta ofreciendo valores de aquella variable que hasta el momento resultó ser incógnita; lo que implicaría incorporar otras operaciones (en particular la división) como medio para el cálculo. También el trabajo sobre la relación a partir de la tabla y la consideración de propiedades. Lógicamente esto dependerá del año de escolaridad en el que se esté desarrollando la propuesta.
Comprendemos ésta es una propuesta acotada e inacabada, que puede ampliarse gracias a la experiencia y el análisis; e invitamos a compartirlo a fin de seguir reflexionando sobre la función que desempeñamos.

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Matemática - 1er Ciclo Primaria Cuadrícula Calculadora

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Matemática – Primer Ciclo Primaria

Cuadrícula Calculadora

Al momento de enseñar la multiplicación muchos son los recursos y estrategias que podemos emplear; por lo general asociando esta operación al sentido de suma reiterada. 
Sin negar sus bondades, nos ocuparemos de otro sentido estableciendo algunas posibles ventajas del recurso empleado. 
El mismo lo denominaremos “cuadrícula calculadora” y básicamente es una hoja cuadriculada, sin ninguna otra referencia o notación; cabe aclarar que su dimensión dependerá de los valores considerados en la enseñanza, por lo que si se está trabajando la tabla del 4 resultará de 4 por 10 cuadraditos. Para unificarlo consideremos sea de 10 por 10. Además, sería conveniente que esté plastificada para poder reutilizarla en varias ocasiones.

Podemos iniciar con un enunciado similar a este: “Se desea cubrir un patio rectangular de 5 metros de largo por 3 metros de ancho, con baldosas cuadradas de 1 metro de lado ¿Cuántas se necesitarán?”
Apoyándose en la representación gráfica resulta un rectángulo de 5 por 3 subdividido en cuadrados de 1 por 1 y para determinar el total podemos: contar uno a uno, o sumar 3 cinco veces (o 5 tres veces).
Este enunciado permite el estudio de la multiplicación como organización rectangular, pero más allá de esto ofrece una representación gráfica que se vincula con lo solicitado, y que, consideraremos como recurso de cálculo.

Otras actividades que podemos tratar son: utilizando sillas ubicadas para un acto, etiquetas en una plancha o medicamentos en un blíster, por nombrar algunos ejemplos, en todas, las representaciones gráficas tienen forma rectangular ubicando los objetos en cada celda, intersección entre filas y columnas; es fundamental en este punto resaltar esta “forma” y aunque las situaciones se resuelvan por conteo o sumas reiteradas dar énfasis entre la asociación de la multiplicación y la forma rectangular subdividida en cuadrados.

Esta asociación permite tratar las multiplicaciones mediante el recurso propuesto, la cuadrícula calculadora, aclaramos que esto no limita ni inhibe el desarrollo de otras propuestas asociadas a otros sentidos de la multiplicación, como ser la suma reiterada o la combinatoria; es más, entendemos que tratar de “meter” todos los casos en esta “forma” no resultaría práctico ni conveniente.
Pero una vez abstraídos del problema, y puntualizando en el cálculo, podemos aprovecharlo como un recurso, que estimamos conveniente, para la resolución de la operación. Y esto se debe a que, por un lado ofrece una representación gráfica, que permite a los estudiantes incluso contar para lograr el resultado; pero por otro, favorece la anticipación, mediante el empleo de escalas.
Por ejemplo si la operación es: 5 x 4 bastaría con formar un rectángulo de 5 cuadraditos de un lado por 4 de otro lado consecutivo, unos podrían contar uno a uno, otros ir en escala 5, y 5, 10, y 5, 15, y 5, 20 (de la misma manera 4, y 4, 8...) y otros anticipar paso, 5, y 5, 10, y 10 de la otra mitad, 20.
Favoreciendo así que aunque las competencias de los estudiantes sean muy dispares en cuanto a esta operación, logren el resultado en cuestión.


Video

También creemos que favorece la memorización de las operaciones, aunque tal conjetura debería ser validada por un estudio, lo que es ajeno a nuestras posibilidades.

En este momento estamos llevando adelante esta propuesta, gracias a la colaboración de docentes de una escuela asociada y esperamos poder ofrecer más detalles al respecto.

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Matemática - 1er Ciclo Primaria Contar

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Matemática – Primer Ciclo Primaria

Lo que implica saber “Contar”[1]

Contar es uno de los primeros aprendizajes matemáticos, “la idea de contar es una de las más primitivas en los seres humanos”, “En el año 1937, Karl Absolom encontró en una excavación en Checoslovaquia, un fósil de hueso de lobo de 30.000 años de antigüedad, sobre el cual se distinguen claramente marcas talladas, las cuales sugieren la existencia de secuencias de conteo. Se observaron sobre el hueso 55 marcas agrupadas de cinco en cinco, lo que lleva a pensar que la agrupación natural de los dedos sirvió de base para su organización”[2]. Y esto también ocurre en la escuela, puesto que el conteo ocupa uno de los primeros lugares en la enseñanza de la matemática, en el Eje: Números, al decir del Diseño Curricular de la provincia de Corrientes para el Nivel Inicial, coincidente con el Bloque 1: Números, de los Contenidos Básicos Comunes para el mencionado Nivel de escolaridad, establece al respecto: “Es responsabilidad del Nivel Inicial que el niño y la niña se apropien del número y sus funciones sociales. Esto implica: conocer la serie numérica, enumerar correctamente los elementos estableciendo una correspondencia biunívoca entre los números y los objetos, determinar el cardinal de una colección, es decir, saber que el último número expresado luego de la enumeración representa el número total de elementos, y comprender que la posición de un número en la serie numérica define la magnitud.”
Ahora bien, no por primigenia resulta natural su dominio; los niños antes de iniciar la escolaridad son capaces de recitar los números, incluso en el orden correcto, bien nos dice Arthur Baroody en su libro “El pensamiento matemático de los niños”[3] que: “a una edad tan corta como los dieciocho meses los niños empiezan a contar oralmente de uno en uno… Hacia los veintiséis meses de edad, Alexi podía contar de palabra del 1 al 10 y había empezado a experimentar con los números hasta el 20. Cuando se le pidió que contara los tres puntos de una formación triangular, Alexi señaló los puntos y soltó a toda prisa: “1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.” Cuando se le pidió que contara tres puntos de una fila, señaló al azar y varias veces el conjunto mientras decía: “8, 9, 10.” Aún después de poder contar con exactitud conjuntos de hasta cinco objetos, Alexi se desconcertaba cuando se le preguntaba cuánto había contado.” Tal experiencia pone en evidencia que la habilidad que desarrollan los niños de "repetir números" no es sinónimo de saber contar y menos aún de lo que significa el concepto de número.

En definitiva, es uno de los primeros conocimientos matemáticos de los que se tiene registro histórico y uno de los que se ocupa inicialmente la educación formal, además, considerando lo dicho que contar la cantidad de elementos de una colección implica la acción de determinar el cardinal[4] de dicho conjunto. Es decir, establecer una correspondencia biunívoca entre los objetos a contar y un subconjunto ordenado (empezando por 1) de los números naturales.

Realizar esta tarea correctamente requiere conocer la sucesión de números naturales, es decir, tanto su constitución como su nomenclatura, en nuestra lengua: uno, dos, tres, etc. Por otra parte, es necesario que a cada objeto, sin saltear a ninguno, se le asigne un y sólo un número, ordenadamente a partir del 1. Y, entender que el último número nombrado identifica la cantidad.

Todo esto nos expone las diversas dificultades a las que se enfrenta el niño a la hora de contar, siendo cuestiones fundamentales a considerar dado que este aprendizaje permite comprender que la enumeración es el procedimiento experto para construir una colección equipotente a una dada sin que la misma esté presente; que dos cantidades (o más) son siempre comparables y que para hacerlo se puede utilizar la comparación de números; que una cantidad puede resultar de la composición de varias cantidades, y que, a la inversa, una colección puede partirse siendo definida con números como relación entre el todo y las partes; además, que se puede operar sobre los números para prever el resultado de una transformación sobre colecciones, por ejemplo el sobreconteo para resolver problemas aditivos. En definitiva, las funcionalidades del conteo como procedimiento matemático resultan imprescindibles para avanzar en el conocimiento de esta ciencia.

[1] Para mayores referencias puede consultar: Análisis Didáctico Contar
[2] LUQUE ARIAS, Carlos, MORA, Lyda, TORRES, Johana; “Didáctica de sistemas de notación de los números naturales (didáctica babilónico-hindú de la aritmética elemental)”
[3] BAROODY, Arthur, “El pensamiento matemático de los niños. Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial” Volumen XLII de la Colección Aprendizaje. Visor Dis. S.A., 1997.
[4] CHAMBADAL, Lucien; Diccionario de Matemáticas, Ediciones Grijalbo S.A., Barcelona, 1984. “El cardinal de un conjunto finito E, también se llama número de elementos de E”.

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Matemática - 1er Ciclo Primaria Del conteo a la suma

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Matemática – Primer Ciclo Primaria

Del conteo a la suma

Evolucionar procedimientos empleados para realizar cálculos es parte inherente al aprendizaje de la matemática, en cierta medida porque implica el dominio sobre la operación y además, por poner en juego las propiedades que se involucran, en este sentido pasar de un procedimiento rudimentario a uno algorítmico, y más aún si es convencional, conlleva aprendizajes propios de la disciplina; ahora bien, para que estos resulten aprehendidos por los estudiantes no basta con comunicarlos, explicarlos o ejercitarlos. Por lo que se propone un camino, no necesariamente único ni superador de otros, para iniciar el pasaje del conteo al algoritmo convencional de la suma.
En primer lugar se presupone ciertos conocimientos por parte de los estudiantes, como ocurre en cualquier proceso de enseñanza, los mismos serán los “conocimiento previos”, y en este caso implicará el saber contar.

Aprovechando este conocimiento se parte de un juego de dado y tablero, éste último como el que se utiliza en el juego de la oca, con el detalle de que debe tener un casillero de salida, lugar que se corresponde con el cero de la numeración ordenada. El dado podría ser confeccionado de tal manera que contenga los números 1 al 6 [1]
El primer lanzamiento posiciona al jugador en el número indicado por el dado, pero el segundo implica el sobreconteo. Por ejemplo, si en el primer lanzamiento salió “3”, se coloca la ficha en el casillero con dicho número; luego, si en el segundo lanzamiento sale “5”, se avanza “5” lugares desde el casillero “3”, esta acción de contar desde un valor dado (sobreconteo) será escrita como:

3 + 5 = 8 Es importante notar que esta escritura no implica la resolución de la operación, sino, más bien es la expresión simbólica de una acción, y por el momento seguirá en este orden.
La tarea continúa, y en cada caso se deberá escribir la operación involucrada y la solución obtenida mediante el sobreconteo [2]

Tras esto se invierten los ordenes, ahora se escribe la operación, por ejemplo: “12+9=” y se utiliza el tablero para resolverla; recurriendo al mismo procedimiento practicado con el juego, se ubica la ficha en el casillero correspondiente al primer número y se cuenta desde el mismo los lugares que indica el segundo, obteniendo el resultado de la suma del casillero al que se arriba.
Esta técnica puede aplicarse a la resolución de problemas, puesto que no es más que un medio para operar antes de conocer el algoritmo.

Éste método es limitado en cuanto a posibilidades, implica que cada estudiante cuente con su tablero, queda sumido a los límites del tablero, y no ofrece ninguna estrategia que permita “resumir” el conteo; considerando esta última, se avanza en cuanto a procedimientos al remplazar el tablero por el castillo numérico, cuestión que se considera en esta entrada (clic acá).

Esto aún está “muy lejos” de ser el algoritmo que permita operar pero es posible resolver la operación mediante un conocimiento previo disponible por los estudiantes y ofrece herramientas para entender el funcionamiento del siguiente método.

[1] Pudieran remplazarse los valores para tratar otras posibilidades.
[2] Sería necesario buscar otra actividad inicial, pero es viable trabajar la resta de una manera análoga, cambiando “avanzar” por “retroceder”, y decontando para determinar el resultado.

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Matemática - 1er Ciclo Primaria Operaciones en el castillo numérico

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Matemática – Primer Ciclo Primaria

Dedo Calculador – Resolución de sumas y restas en el castillo numérico

Un castillo numérico es básicamente una matriz que permite la organización rectangular de un conjunto ordenado de números; suele emplearse para la enseñanza del sistema de numeración, con especial consideración en las regularidades. Pero en este caso abordaremos la posibilidad de realizar operaciones de sumas y restas entre números naturales, mediante la propuesta didáctica conocida como “dedo calculador”.

Para esto es necesario considerar las regularidades propias del sistema de numeración decimal y explicitadas mediante el castillo numérico, las cuales se definen básicamente por recorridos o desplazamientos sobre el mismo, a saber:

Desplazarnos a la derecha un lugar implica sumar 1 al valor original, y en consecuencia[1], sumar cierta cantidad de unidades conlleva desplazarnos a la derecha esa misma cantidad de celdas.

De forma análoga desplazarnos a la izquierda implica resta, por lo que restar cierta cantidad de unidades conlleva desplazarnos a la izquierda esa misma cantidad de celdas.

Desplazarnos hacia abajo en la celda inmediata inferior implica sumar 10 al valor original, y por esto, sumar cierta cantidad de decenas conlleva desplazarnos hacia abajo esa misma cantidad de celdas.

Por último, desplazarnos hacia arriba en la celda inmediata superior implica restar 10 al valor original, y por esto, restar cierta cantidad de decenas conlleva desplazarnos hacia arriba esa misma cantidad de celdas.

En definitiva, estos movimientos pueden representarse como las coordenadas cardinales básicas y gráficamente para desplazamientos unitarios resultaría:

Además, es importante atender a la limitación propia de toda representación gráfica, esto es el cálculo sólo puede desarrollarse en el marco y entre los valores que posibilita la matriz. En este sentido como para este desarrollo consideraremos el castillo que contiene los números entre 0 y 99 de a uno en uno; podremos realizar operaciones que cumplan con las siguientes condiciones:

Suma: a + b < 100, siendo a y b números naturales

Resta: a – b con a < 100 y b < a [2], siendo a y b números naturales

Otra consecuencia de la misma representación tiene que ver con los movimientos que implican avances a partir o más allá de la última columna; o retrocesos respecto a la primer columna, lo que resulta en “movimientos especiales” [3]

Por último, para resolver las operaciones se aprovecha la descomposición aditiva de los números, principalmente en decenas y unidades.

Ahora bien, no cualquier combinación de valores para a y b que cumplan con las condiciones dadas implica la misma estrategia, y con el propósito de analizarlo se detallarán ejemplos para diferentes casos.

Para la suma, se consideran dos casos, que suelen denominarse suma sin dificultad y con dificultad.

a- 32 + 25

Con este ejemplo se contempla todos los casos donde la suma de las unidades sea menor o a lo sumo igual a 9; lo que implica que el desplazamiento en horizontal se mantendrá en la misma fila o familia. Por lo que su resolución deviene (posibilidad tomada para el análisis, y no necesariamente única) de la descomposición aditiva del segundo sumando y en función a ésta la cantidad de casilleros a desplazarse hacia abajo y a la derecha (o viceversa). Es decir: 32 + 25 = 32 + 20 (dos celdas hacia abajo) + 5 (cinco hacia la derecha); o bien, 32 + 25 = 32 + 5 (cinco casilleros a la derecha) + 20 (dos hacia abajo)

b- 32 + 29 [4]

Si la suma de las unidades es mayor a 9 el procedimiento resulta similar al anterior pero involucra un “movimientos especiales” puesto que el desplazamiento en horizontal (unidades) produce un cambio de familia, movimiento en vertical [5]

Se establece para la resta dos consideraciones análogas a la operación anterior

a- 56 – 13  
Si la unidad del minuendo es mayor [6] que la unidad del sustraendo (resta sin dificultad), el desplazamiento en horizontal “queda” en la misma familia. Ahora bien, para realizar el recorrido propio a esta operación se debe descomponer aditivamente el sustraendo, lo que trae aparejado un conflicto para su enseñanza, dado que resultará:
56 – 13 = 56 – ( 10 + 3 ) = 56 – 10 – 3; o bien 56 – 3 – 10
Por lo que será necesario mostrar la equivalencia entre “quitar 13” y “quitar 10 y luego 3” (o viceversa); en este punto es fundamental aclarar que la resolución de estas operaciones en el castillo numérico se realiza mediante el conteo, estratégico y sustentado en la estructura que el castillo ofrece, pero donde 56 – 13 = 43 es sólo una escritura y no un método; avanzar estos procedimiento y considerar situaciones como 56 – 13 =/= 56 – 10 + 3 requerirían otro análisis pormenorizado.

b- 46 – 18
Por último, la “resta con dificultad” [7] donde se requiere aplicar el citado procedimiento pero ahora conlleva un cambio de familia, es decir, al “quitarle” 8 al 46, la casilla a la que se arriba resulta esta en la familia anterior a la original; análogamente a lo que había ocurrido con la suma. Por lo que será de importancia, al llegar al primer número (columna de la izquierda) trasladarnos al último de la familia anterior (columna de la derecha), considerando lo dicho para los “movimientos especiales” y teniendo presente el concepto de anterior de.

Contemplando estas consideraciones que incluyen limitaciones de la propia representación, y algunas cuestiones respecto a su enseñanza, el empleo del castillo numérico resulta un recurso pertinente para abordar la resolución de las operaciones básicas citadas previo al tratamiento algorítmico.


[1] Esta afirmación no es inmediata y requiere desarrollo para su aprehensión.
[2] Pudiera ser a = b, para trabajar el caso a – b = 0
[3] Esto se asume conocido.
[4] Esta situación pudiera resolverse mediante la siguiente expresión equivalente: 32+30–1. Y, en este sentido es muy conveniente desarrollar “caminos alternativos”, propios de aquellos recursos de cálculo mental.
[5] Consideramos que pasar por esta situación previo al desarrollo del algoritmo convencional permite dar sentido a la acción “lleva 1”.
[6] La situación límite en este caso se da al ser la unidad del minuendo igual a la unidad del sustraendo, por ejemplo 46 – 16, estas situaciones se pueden reducir a 40–10 y anticipar este fenómeno daría cuenta del conocimiento matemático involucrado.
[7] Existen casos particulares como 46 – 29 que resulta equivalente a 46 – 30 + 1 cuya transformación resulta del repertorio de técnicas y procedimientos propios del cálculo mental, también en este caso, anticipar el método daría cuenta del conocimiento matemático.

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Matemática - 1er Ciclo Primaria Recorridos en el castillo numérico

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"

Matemática – Primer Ciclo Primaria

Recorridos en el castillo numérico

Un castillo numérico es básicamente una matriz que permite la organización rectangular de un conjunto ordenado de números; suele emplearse para la enseñanza del sistema de numeración, con especial consideración en las regularidades. Pero en este caso abordaremos la posibilidad de realizar cálculos, básicamente sumas y restas, mediante desplazamientos sobre el castillo, atendiendo a las distintas posibilidades, equivalencias y condiciones para la enseñanza primaria.

En términos generales esta actividad propone a los estudiantes determinar cuántos casilleros deben desplazarse para ir desde el número A, al número B; lo que resulta de establecer la distancia entre A y B, y escribir las operaciones involucradas.

Por ejemplo:

En un edificio de departamentos muy especial, a los inquilinos les gusta saber cuánto tienen que caminar antes de salir

Si Paula vive en el departamento número 20 y Juanita en el 32. ¿Cuántos departamentos las separan?

Mateo y Joaquín viven en el departamento número 12 y están invitados al cumple de Julieta que vive en el 38. ¿Cuántos departamentos tienen que pasar para llegar al de Julieta?

Marita también está invitada al cumple, pero ella vive en el departamento número 54. ¿Cuántos departamentos tiene que retroceder para ir al cumple de Julieta?

 Gracias Prof. Cecilia Díaz por el enunciado.

Si bien, cualquiera de estas situaciones puede resolverse contando casilleros, al superar los veinte la técnica deja de ser conveniente y es posible “mejorarla” mediante considerar las regularidades y realizar cálculos.

Cualquier variante a este enunciado se resuelve mediante el uso o la combinación de cuatro movimientos o desplazamientos a partir del primer número dado. Cabe aclarar que, como lo que se mide es la distancia y ésta cumple con la simetría, podríamos considerar los movimientos desde el segundo número, y de hecho se aprovecha de esta equivalencia para el cálculo.

 

Gráficamente estos movimientos o desplazamientos pueden representarse como las coordenadas cardinales básicas, y dado el orden en el que se encuentran los números en el castillo implican las siguientes operaciones, para desplazamientos unitarios: Estos principios son determinantes al momento de realizar sumas o restas con la propuesta didáctica conocida como “dedo calculador”.

Por esto, si dejamos fijo el primer valor y cambiamos la posición del segundo podremos encontrarnos con nueve posibles situaciones, cuatro de estas son simples, es decir, recorridos en una sola dirección, una es la identidad (cuando A y B coinciden), y las otras cuatro son combinadas. Analicemos estas últimas a fin de mencionar algunas posibilidades y anexando algunos detalles registrados en observaciones. Para esto consideremos el siguiente esquema como representativo de la situación, debe quedar claro que no son necesariamente celdas contiguas pero sí  que se encuentran ubicados los números en los cuadrantes definidos; un ejemplo de la situación es:

Empecemos por ir de A a B4, los dos caminos que nos conducen implican: avanzar y luego bajar; o a la inversa, bajar y luego avanzar; en ambos casos se trata de una suma, siendo una situación resoluble por los estudiantes de la educación primaria. Llamemos a esta posibilidad “Caso 1”, únicamente con el fin de analizar la situación y no porque se trate de un contenido de enseñanza en sí mismo.

Visto esto, notemos que en el caso de ir de A a B1, podemos*: subir y retroceder, o bien, retroceder y subir; ambos movimientos implican restas pero su combinación se resuelve por suma. Ahora bien, en nuestras observaciones los estudiantes realizan la suma sin detenerse en la consideración del signo en función a la dirección del desplazamiento, es decir, "3 + 20 = 23" o "20 + 3 = 23", o bien, deciden realizar los desplazamientos de B1 a A, (sin aludir a la equivalencia dada por la simetría) y resuelven mediante el Caso 1.

Como tercer caso consideremos ir de A a B3, en esta situación pudieran retroceder y luego bajar; lo que sería una suma con un primer término negativo; o, bajar y luego retroceder, lo que se trataría de una resta con el minuendo mayor que el sustraendo. Registramos que los estudiantes indistintamente de cómo lo enuncien, expresan la resta como operación válida.

Por último, ir de A a B2, donde pudieran avanzar y subir, o subir y avanzar; pero en ninguno de los dos casos estos recorridos pueden ser expresados como operaciones por los estudiantes, respetando las reglas indicadas para el “dedo calculador”. Éste es el más difícil de expresar, muchos estudiantes optaron por contar uno a uno, al no poder justificar el resultado, y los pocos que se animaron a expresarlo lo hicieron considerando ir de B2 a A, bajar y luego retroceder, aplicando lo visto en el Caso 3.

 

En definitiva, consideramos a esta una actividad oportuna con la que abordar el trabajo con operaciones; sería interesante comprender las transformaciones que los estudiantes realizan al momento de expresar las operaciones, aunque, dadas nuestras posibilidades, sólo dejamos planteado el interrogante.

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Matemática – 1er Ciclo Primaria Mitad, doble y triple de un número

Apoyo Pedagógico
ISFD "Juan García de Cossio"
Matemática – Primer Ciclo Primaria
 

Mitad, doble y triple de un número

“Los juegos son una manera entretenida de acercarse al mundo de los cálculos.” 

  

Esta propuesta se centra en un juego con dado y tablero, por lo que se debe acondicionar el aula para tal fin; se corren los pupitres y las sillas hacia los costados dejando libre el centro del salón. Además, hay ciertas condiciones que deben seguirse más allá de las reglas del juego, como ser, respetar los turnos y los tiempos de cálculo de los compañeros, o, no decir (soplar) las soluciones ni interrumpir. 

Para realizar la misma se debe disponer de los siguientes elementos: Un tablero de 2 x 2 metros (aprox.) con 42 casillas, un dado especial y tres tarjetas con los siguientes mensajes:

“MITAD DE” 

“DOBLE DE” 

“TRIPLE DE”

Organizado el espacio físico se forman parejas de alumnos, éstas definen cada equipo que se distingue de los demás, por ejemplo utilizando fichas de colores numeradas para establecer el orden en el que van participando.

Hecho esto, cada equipo coloca su ficha en el casillero que dice “SALIDA”, y, por turno, un jugador tira el dado, luego da vuelta una de las tarjetas, ubicadas boca a bajo en una mesa contigua, si sale la tarjeta DOBLE DE duplica puntos, entonces deberá calcularlo (el doble del valor obtenido al arrojar el dado) y avanzar esos casilleros. De la misma manera, si saca la tarjeta TRIPLE DE, triplica puntos, y si saca la tarjeta MITAD DE, divide. Gana el primero que llega al casillero que dice “META”.
 

El propósito de esta actividad es poner en juego los conceptos de mitad, doble y triple, y los métodos de cálculo propuestos por los alumnos. Es decir, procura responder a las preguntas: ¿Qué cálculos utilizaron para llegar a los resultados? O más específicamente ¿Cómo hicieron para calcula el doble? (sumando dos veces el mismo número - multiplicando por 2) ¿Cómo hicieron para calcular el triple? (sumando tres veces el mismo número – multiplicando por tres) ¿Y la mitad? (buscando un número que sumado dos veces dé como resultado el valor en cuestión, o bien, multiplicando por dos, o dividiendo por dos)

 
Algunas variantes a la propuesta, podrían ser, considerar un tiempo límite para responder y en el caso de no resultar correcto perder el turno; o bien, sólo al pasar por determinados casilleros tener la posibilidad de sacar una de las tarjetas.

Por último, cabe aclarar que el dado es especial por sus dimensiones y por disponer de valores pares, los que permiten el cálculo de mitades utilizando únicamente números naturales.


Gracias Adriana Puyol (Residente Profesorado de Educación Primaria) por el material didáctico y la planificación.